第十九章含参量积分 4小+女=+固 dy 因为2在点0,0)不连续,所以与定理的结果不符 7.研究函数F(y) dx的连续性,其中f(x)在闭区间 [0,1]上是正的连续函数 解由于f(x)在[0,1]上是正的连续函数,故存在正数m,使得 f(x)≥m>0x∈[0,1] 当y>0时,p(9)=h≥m。2ya arctan 当y<0时,F)=0≤,y 因此1mF(y)≥ lim mactan=-2>0 lim F(y)< lim marcas y 2<0 所以F(y)在y=0处不连续,当0[,4]时x(x)2在[0,1;,d 上连续所以当y≠0时,函数F(y)连续 8.设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续,证明: a[r(:+A)-f()d=f(x)-f(l(a<x<A) 证因为[f(t+h)-f(t)de f(t)dt- f(t)dt
1含参量正常积分 f(t)dt f(t)dt-f(r)dt f(e)dt-f(t)dt =f(1)·h-f(2)·h,x≤1≤x+h,a≤与2≤a+h 当h→0,1→x,2→a,所以 [(+)-(2)=(r(6)k-r(2)k f(c)-f( 9.设F(x,y) (x-yz)f(z)dz,其中f(z)为可微函数,求 F Af F2(c,y)=f(z)dx+(x-ry2)f(ry)y f(z)dz+ ry(1-y2)f(ry) (x,y)=f(xy)·x+f( ), +x(1-y2)f(xy) 2ry f(ry)+xy(1-y)f(ry) (2x-3y32)f(xy)+f(x)+x2y(1-y2)f(xy) 10.设E(k)=√1-k2sn2gdq d 其中0<k<1(这两个积分称为完全椭圆积分) (1)试求E(k)与F(k)的导数,并以E(k)与F(k)表示它们; (2)证明E(k)满足方程 (k)+1E()+E(2=0
第十九章含参量积分 解(1)E(k)= 1[21-k2sn2g kJ0√1-k2si b[E(k)-F(k)](a) F(k)=2ksin2gd甲4 (1-k2sn2g)2 (1-k'sin2)"2dp-(1-k2sin2p)idp 易证(1-k2sin2g) 2(1-k2sin2 2 1-k2 do l sin cosp(1-k2s 故有 (1-k23in2g)2d E(k) F( k(1-k2)k (2)对(1)中(a)式求k的导数后,再将(a)式代入得 E(k)=A[E(k)-F(k)-1E(k)+1F(k) F(k) 由(a),(b)有F(k)=F(k),一F(k) E(k k(1-k2)+E(k)-E(k)=E'(k)
§2含参量反常积分 代入上式后得E(k)+1E(k)+E(k)=0 §2含参量反常积分 1.讨论下列含参量非正常积分在所指定的区域上一致收敛性 dx在 (2),cxxy在任何区间[a,b](a>0)上 dt在0<a<∞上 (i)在0<a≤x≤b上一致收敛 ()在0≤x≤b上不一致收敛 (5)hn(xy)dy在≤x≤b(b>1)上; (|)在(-∞,b](b<1)一致收敛 ()在(-∞,1)内不一致收敛 (7)x21(1-x)z在0<p≤p<∞,0<q0≤q<上 解(1)因为 dx 收敛,所以 dx在 y<∞上一致收敛 (2)因为1c2y1=1≤}而且