(2)若 Dirichlet判别法条件满足,由于 lim a=0,因此对于任意给 n→ 定的E>0,存在N,使得对于一切n>N,成立 an<8 设∑bM,令B=∑b(k=12…,则 +k 1B|=∑b-∑b≤2M 应用Abel引理,同样得到 ∑a1bs2M(|am1+2 )<6ME 对一切n>N与一切正整数p成立。 根据Cauc-hy收敛原理(定理941),即知∑abn收敛。 n=1
(2) 若 Dirichlet 判别法条件满足，由于 lim n→∞ an =0, 因此对于任意给 定的ε >0，存在 N, 使得对于一切 > Nn ，成立 ｜an｜< ε 。 设 ∑ = n i bi 1 ≤ M ，令 Bk = ∑ + += kn ni bi 1 (k = 1,2,…)，则 ｜Bk ｜= ∑ − + = kn i bi 1 ∑ = n i bi 1 ≤ 2M， 应用 Abel 引理，同样得到 ∑ + += pn nk kkba 1 ≤ 2M (｜an+1｜+2｜a + pn ｜)< 6Mε 对一切 n >N 与一切正整数 p 成立。 根据 Cauchy 收敛原理(定理 9.4.1)，即知∑ ∞ n=1 nnba 收敛
注(1)对于 Leibniz级数∑(-1un,令an=m,b=(1),则 an}单调趋于0,12b}有界,则由Det判列别法,可知∑a ∑(-1)yun收敛。所以交错级数的 Leibniz判别法可以看成是 Dirichlet 判别法的特例
注 （ 1）对于 Leibniz 级数 ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u ，令 a n = u n，b n = ( -1) n+1，则 ｛ an ｝单调趋于 0， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑= n i i b 1 有界，则由 Dirichlet 判别法，可知 ∑ ∞ n =1 ba nn = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u 收敛。所以交错级数的 Leibniz 判别法可以看成是 Dirichle t 判别法的特例