(a5-a4)B4 a (a3-a2)B2 a4b 4 a2(a2-a,)B, a, b b 2 0 BI B2 B3 B4 B 上图是当an>0,bn>0,且{an}单调增加时,Abel变换的一个直 观的示意。图中矩形B]x[0a]被分割成9个小矩形,根据所标出的 各小矩形的面积,即得到p=5的Abel变换: ∑ab=a3B,-∑(a1-a) k=1
上图是当 > 0 n a ， > 0 n b ，且{an }单调增加时，Abel 变换的一个直 观的示意。图中矩形[ ] 5 ,0 B [ ] 5 × ,0 a 被分割成 9 个小矩形，根据所标出的 各小矩形的面积，即得到 p = 5 的 Abel 变换： 5 4 5 5 1 1 1 ( ) k k k k k k k ab aB a a B + = = ∑ ∑ =− − 。 a5 445 − )( Baa a4 334 − )( Baa 55ba a3 223 − )( Baa 44ba a2 112 − )( Baa 33ba a1 22ba ba 11 0 B1 B2 B3 B4 B5
利用Abel变换即得到如下的Abel引理。 引理9.4.2(Abel引理)设 (1){ak}为单调数列; (2){Bk}(B=∑b,k=1,2,…)为有界数列,即存在M50,对 切k,成立|Bk|≤M,则 ∑absM(|a1|+2|an)
利用 Abel 变换即得到如下的 Abel 引理。 引理 9.4.2 (Abel 引理) 设 (1)｛ak ｝为单调数列； (2)｛Bk ｝（Bk =∑ = k i bi 1 ，k = 1,2,…)为有界数列，即存在 M> 0，对 一切 k，成立｜Bk ｜≤M，则 ∑ = p k ba kk 1 ≤ M (｜a1｜+2｜ap｜)
证由Abel变换得 ∑ab|s|aB,|+∑|a k=1 +1 由于{an}单调,所以 k+1-a k=1 k=1 于是得到 ∑ab|sM(|a1|+2|a|)
证 由 Abel 变换得 ∑ = p k kkba 1 ≤｜ Ba pp ｜+ ∑ − = + − 1 1 1 || p k Baa kkk ≤ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∑ −+ −= + 11 1 |||| pk p kk aaaM 。 由于｛ak ｝单调，所以 ∑ − = + − 1 1 1 || p k kk aa = ∑ − = + − 1 1 1 )( p k kk aa =｜ p − aa 1｜， 于是得到 ∑ = p k kkba 1 ≤ M (｜a1｜+2｜ap｜)
定理9.4.3(级数的A-D判别法)若下列两个条件之一满足, 则级数∑ab收敛 (1)(Abel判别法){an}单调有界,∑b收敛 (2Drct别法){an}单调趋于0,{∑b有界
定理 9.4.3（级数的 A-D 判别法） 若下列两个条件之一满足， 则级数∑ ∞ n=1 ba nn 收敛： (1) (Abel 判别法) ｛an｝单调有界，∑ ∞ n=1 bn 收敛； (2) (Dirichlet 判别法) ｛an｝单调趋于 0， ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧∑=ni i b1 有界
定理9.4.3(级数的A-D判别法)若下列两个条件之一满足, 则级数∑ab收敛 (1)(Abel判别法){an}单调有界,∑b收敛 (2Drct别法){an}单调趋于0,{∑b有界。 证(1)若Abel判别法条件满足,设|an|≤M,由于∑b收敛, 则对于任意给定的ε>0,存在正整数N,使得对于一切n>N和 peN+,成立∑b<E。对∑ab1应用Abe引理,即得到 k=n+1 k=n+1 ∑ab<(|an1+2|an1)≤3M
证 (1) 若 Abel 判别法条件满足，设｜an｜≤M，由于∑ ∞ n=1 bn 收敛， 则对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得对于一切 n > N 和 p + ∈N ，成立 ∑ + += pn nk bk 1 < ε 。对 ∑ + += pn nk ba kk 1 应用 Abel 引理，即得到 ∑ + += pn nk ba kk 1 < ε (｜an+1｜+2｜a + pn ｜) ≤ 3Mε 。 定理 9.4.3（级数的 A-D 判别法） 若下列两个条件之一满足， 则级数∑ ∞ n=1 ba nn 收敛： (1) (Abel 判别法) ｛an｝单调有界，∑ ∞ n=1 bn 收敛； (2) (Dirichlet 判别法) ｛an｝单调趋于 0， ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧∑=ni i b1 有界