联合分布函数性质 ①)0≤F(x,y)≤1； (2)F(+o,+∞)=1，F(-∞，-∞)=F(-∞，Jy)=F(x,-∞)=0； (3)P(x,<X≤x2,y<Y≤2)= F(x2,2)-F(x2,)-F(x1,y2)+F(x,y) (4)如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P(X=x,Y=y)=p,=12,…,j=1,2 则F(xy=P{Xx,Yy}= ∑∑P, X≤xySy
(1) 0 F(x, y) 1; (2) F(+ ,+ ) = 1,F(− ,− ) = F(− , y) = F(x,− ) = 0; ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y − − + = x x y y ij i j 则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}= p (4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为 i j i j P(X = x ,Y = y ) = p (i =1,2, , j =1,2, ) 联合分布函数性质
(3)P(x1<X≤x2,y<Y≤2)= F(x2,y2)-F(x2,1)-F(x,y2)+F(X1,y) (1y2) x2y2) )年量单■■年8月 (X1,y1) (2yi) 力期唐市中中年 X X X2
X Y x1 y1 (x1 ,y1 ) x2 y2 (x2 ,y2 (x ) 1 ,y2 ) (x2 ,y1 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y − − + =
3.连续型随机向量的联合概率密度 Fy)=PX≤xY≤y=Cfis,)ddk 性质 (1)f(x,y)≥0，(x,y)∈R2 2)j∬x,y)dxdy=1 f(x,y)dxdy=1 R 计算P{X,)eDy=(x,y)dxdy D 其中D为任意可度量区域！ 特别 在fx,y)的连续点有 aF(x,》=fx,y) Oxdy
性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 = D 计算P{(X, Y) D} f(x, y)dxdyf ( x, y )dxdy = 1 + − + − 其中D为任意可度量区域. F(x, y) = P{X x, Y y} − − = x y f (s,t )dtds 3. 连续型随机向量的联合概率密度 特别 在f(x,y)的连续点有 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y =
Ae243),x≥0，y≥0 例5设XY)f.)=0 其它 试求：(1)常数A;(2)P{X<2,Y<1}, (3)P{X,Y)∈D},其中D为2x+3y6.(4)P(X≤xYy)· 解(1) fxyk=4eaw=广Ae”e 据xgyd=心(x)dg(y)dv得 =到。w- 00 =AV6=1 所以， A=6
例5设(X,Y)～ = − + 0, 其它 Ae , x 0, y 0 f ( x, y ) ( 2x 3 y ) 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1) + + − + 0 0 ( 2x 3 y ) Ae dxdy + + − − = 0 0 2x 3 y Ae e dxdy = b a d c b a d c 据 dx f ( x )g( y )dy f ( x )dx g( y )dy得 所以, A=6 + + − − = 0 0 2x 3 y A e dx e dy 0 e ) 3 1 ( 0 e ) 2 1 A( 2 x 3 y + − + = − − − =A/6 =1 (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6
(2)PXY)ED)=ydxdy D 所以，P{X2,Y<1}=『(x y)dxdy 6e-(2xi3y) X<2,Y<1} =6e3 X<2,Y<0 -6feed =4-e6-n--eu-e
X Y 0 所以,P{ X<2,Y<1}= 2 1 = D (2)P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy {X2,Y1} f(x, y)dxdy {X<2, Y<1} − + = 2 0 1 0 ( 2x 3 y ) dx 6e dy − − = 2 0 1 0 2x 3 y 6 e dx e dy 2 3 1 1 2 1 6( ) ( ) 2 0 3 0 x y e e − − = − − 4 3 (1 )(1 ) e e − − = − −