第一章函数与极限 第一节函数 知识要点与考点 1.集合、常量与变量、函数概念 函数的定义,求定义域D,求函数表达式等(略)【考点】 2.函数的几种初等性质简述【考点】 1)有界性:f(x)|≤M,0x∈XCD; 2)单调性;z<x2→f(x)f(x2),Vx2、比:∈D 3)奇偶性:f(-x)=f(x),Ⅵx、-x∈D; 4)周期性:f(x士T)=f(x),W、x士T∈D 3.反函数与直接函数 它们互为反函数,f(x)与f1(x)=以(x)的图形在同一个坐标 系里关于直线y=x对称 习题1-1解答 1.用区间表示变量的变化范围: (1)2<x≤6; (2)x≥0 (3)x2<9; (4)|x-3|≤4 解(1)(2,6] (2)[0,+∞) (3)|x|<3,(-3,3).(4)-1≤r≤7,[-1,7 ①逻辑符号“”表示并读作“任〔意)给(定)
2.求函数y= sin,x≠0, 的定义域和值域 0, 0 解【此分段函数的定义域是各式所表示函数定义域的并 集.】 定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)∪{0}=(-∞,+∞)仝R① 值域W=[-1,0)U(0,1]U{0}=[-1,1] 3.下列各题中,函数f(x)与g(x)是否相同?为什么? gr,g(x)=2lgr;(2)f(r)=x,g (3)f(x)=yx1-x2,g(x)=xyx-1. 答【两个函数是否相同,从对应规则与定义域都要相同两方 面去判断.】 (1)不相同因为lgx2的定义域是(-∞,0)U(0,+∞);而 2lgx的定义域是(0,+∞) (2)不相同因为f(x)=x的值域为R;而g(x)=√x=|x 的值域仅为非负实数[0,十∞),即它们的对应规则不相同 (3)相同因为x+-x3与xyx-1的定义域(都是R)与对 应规則都相同. 4.求下列函数的定义域: (1) 2)y=√3x-2 (3)y= 5)y=12+x+2;(6)y=1--x; y 解【求函数的定义域,常由解不等式或不等式组确定之】 (1)1-x≠0,x≠1,定义域D=(-∞,1)U(1,+∞); )符号“△”"表示记为R表示全体实数集
(2)3x+2≥0,x≥-2/3,D=[-2/3,+∞); (3)1-x2≠0,x≠±1,D=(-∞0,-1)∪(-1,1)U(1 (4)x2-4≥0,|x|≥2,D=(-∞,-2]∪[2,+∞); 1-x2≠0 ≠士1 (5) D=[-2,-1)∪(-1,1)U(1 +2≥0 ≠0 ≠0 D=[1,0)∪(0,1] (7)4-x2>0,|x|<2,D=(-2,2)或D={x}-2<x<2}; (8)x2-3x+2≠0,(x-1)(x-2)≠0,x≠1,x≠2,D= (-∞,1)U(1,2)∪(2,+∞)或D={x|x≠1,x≠2} 5用描点法作出函数y=1/x2的图形 解函数的定义域为D 0};又y(-x)=1/x2=y(x),函数是偶 函数图形关于y轴对称;取x轴上如下 几个特殊点,算出对应的函数值,如下表 2 所示;然后在直角坐标系中描点、连线 作图如图1-1所示 of i2I 1/23/411.52 图1-1 1.7810.440.25 6.设f(x)=√4+x2,求下列函数值 f(0),f(1),f(-1),f(1a),f(xo),f(x0+h) 解【求函数值只须将自变量之值代入计算】 f(0)=√4+02=2;f(1)=√4+1=√5 f(-1)=√4+(-1)2=√5; f(1/a)=√4+1/a2=√4a2+1/a; f(x)=√4+x;f(x+h)=√4+(x+h)2 3
若)=2++}+:1明/=14 证明f +2/2+5t+5 =22+++5t=f(t),得证 8设g(x)= 1:求4)-1 g(-2),并作出函数y=g(x)的图形 6 n T 五五 SIn 图12 g(-2)=0 y=g(x)的图形如图1-2所示 9下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数,哪些既非奇函数 又非偶函数? (1)y=x2(1-x2) (2)y=3x2-x2; (3)y= 1+x2 (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos T+1 a2+ (6)y=-2 答【以-x代人各右式中的x,易知奇偶性或是非奇非偶函 数.】 (1),(3),(6)是偶函数是容易验证的 (2)与(5)经验证既非奇函数又非偶函数 (4)是奇函数,这是因为
-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x-1)(x+1). 10.设f(x)=2x2+6x-3,求x)=D[f(x)+f(-x)及 (x)=[(x)-f(-x)],并指出x)及(x)中哪个是奇函数 哪个是偶函数? 解y(x) 2(2x2+6x-3+(2x2-6 ] x2-6)=2x2-3; y(x)=2[2x2+6x-3-(2x2-6x-3)] 12x/2=6x 显见g(x)是偶函数而(x)是奇函数 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函 数偶函数与奇函数的乘积是奇函数; (3)定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可表示为一个奇函 数与一个偶函数的和 证明【可根据定义判断函数的奇偶性】 设f1(x),g1(x)为奇函数,而f2(x),g2(x)为偶函数 (1)f2(-x)+g2(-x)=f2(x)+g2(x), 所以两个偶函数的和仍为偶函数而 f1(-x)+g1(-x)=-[f1(x)+g1(x)], 所以两个奇函数的和仍为奇函数 (2)f2(-x)·g2(-x)=f2(x)·g2(x), 所以两个偶函数的乘积仍为偶函数而 f(-x)·g1(-x)=-f(x)[-g1(x)=f1(x)·81(x), 所以两个奇函数的乘积是偶函数又