常系数非齐次线性微分方程一、f(x)=e*Pm(x)型二、f(x) = e^*[P(x)cos ox+ P,(x)sinwx)型三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x P x x l x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f ( x) e P ( x) m x = 型
f(x) = eax[P(x)cosox + P,(x)sin ox>,o为实数，P(x）P,(x)分别为l、n次多项式。2=0 f(x) = P(x)cosox + P,(x)sin ox>特解形式y* = x*eax[Rl'(x)cos wx + R(2'(x)sin wx2R((x), R(2)(x)为m次多项式m= max(l,n)—k=0入+iの不是特征方程的根入+iQ是特征方程的根→k=1解题步骤写出f(x），明确入、和m设特解写出特征方程，确定k代入方程，比较系数求特解列出等式，求出系数
,ω为实数 , ( ) e ( )cos ( )sin x l n f x P x x P x x = + =0 ➢特解形式 (1) (2) e ( )cos ( )sin k x m m y x R x x R x x = + +iω 不是特征方程的根 k=0 +iω 是特征方程的根 k=1 ➢解题步骤 写出f(x)，明确、ω和m 写出特征方程，确定k 设特解 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数 ( ) P x l ( ) 分别为l、n次多项式 . P x n ( ) ( )cos ( )sin l n f x P x x P x x = + (1) (2) ( ), ( ) R x R x m m 为m次多项式 m l n = max{ , }
例4 求方程y"+y=xcos2x的一个特解解: f(x)= xcos2x = 0, の = 2,m=1.对应的齐次方程的特征方程：r2 +1 = 0几+iの=2i不是特征方程的根设特解y*=(ax +b)cos2x+(cx +d)sin2x代入方程得(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d +4a)sin2x= xcos2x-3a=1d=#-3b+4c=0:: α=-,比较系数，得-3c= 0b=c=0-3d-4a=0sin 2xy*=-xcos2x+方程的特解
◆例4 的一个特解 . 解: = = = 0, 2, 1 m 设特解 不是特征方程的根, 代入方程得 (−3a x − 3b + 4c)cos 2x − (3c x + 3d + 4a)sin 2x = x cos 2x 1 0 2 r + = 比较系数 , 得 9 4 3 1 = , = − a d 方程的特解 − 3a =1 − 3b + 4c = 0 − 3c = 0 − 3d − 4a = 0 b = c = 0 f x x x ( ) cos 2 = 对应的齐次方程的特征方程：
例5求方程y"+9y=18cos3x-30sin3x的通解解：对应的齐次方程的特征方程：r2+9=0,特征根ri.2 =±3i2对应齐次方程的通解 Y=C,cos3x+C2sin3xf(x)=18cos3x -30sin3x a = 0, @ = 3, m= 03i为特征方程的单根，设非齐次方程特解y*=x（acos3x+bsin3x）6bcos3x-6asin3x=18cos3x-30sin3x代入方程：比较系数,得α=5，b=3，因此特解为y*=x（5cos3x+3sin3x）所求通解为y =Ci cos3x+C2 sin3x + x(5cos3x + 3sin3x)
◆例5 求方程 y + 9y =18cos3x − 30sin 3x 的通解. 解: 9 0, 2 r + = 特征根 对应齐次方程的通解 比较系数, 得 因此特解为 y* = x (5cos3x + 3sin 3x ) 代入方程: 6bcos3x − 6asin 3x 所求通解为 为特征方程的单根 , + x (5cos3x + 3sin 3x ) 设非齐次方程特解 对应的齐次方程的特征方程： f x x x ( ) 18cos 3 30sin 3 = − = = = 0, 3, 0 m
>例6求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式(I) y(4) +2y"+y= sinx(2) y(4) +y" = x+e=+3sinx解：(1)特征方程 r4 +2 r2 +1=0,即(r2 +1)2=0,有二重根r=土i所以设非齐次方程特解为y* = x(a cosx + b sin x)特征方程r4 +r2=0, 即r2(r2 +1)=0(2) 有根 ri.2 = 0,r3.4 =±i利用叠加原理，可设非齐次方程特解为y*=x'(ax+b) +ce*+x(d cosx+ksinx)
◆例6 (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 y y x x x (2) e 3sin (4) + = + + 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 + x ( d cos x + k sin x ) 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 解: