例1求方程"-2y-3y=3x+1的一个特解解:f(x)=3x+1, =0, m=1对应的齐次方程的特征方程 :r2 2 r -3=0入=0不是特征方程的根设所求特解为 y*=box + bi;代入方程得：-3box -3bi -2bo = 3x +1比较系数，得[-3bo =3bo =-1, bi =(-2bo -3bi =1所求特解为*=-x+
◆例1 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征方程： 设所求特解为 代入方程得: 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 所求特解为 不是特征方程的根 . f x x ( ) 3 1 , = + = 0 , m = 1
例2求方程y"-5y+6y=xe?的通解解：对应的齐次方程的特征方程 :r2 - 5r +6 = 0 特征根r=2, r =33.x对应齐次方程的通解:Y =C,e2xaf(x)= xe2x，=2, m=1 =2是特征方程的单根2x设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e代入方程得 -2 bo x- b + 2 bo = x比较系数,得「 - 2bo =1 →bo =bi = -1[2bo -b = 0特解为y*=x(-x-1)e2x 所求通解为y=C,e2*+C,e3*-(x2 +x)e2x
◆例2 5 6 0 , 2 r − r + = 特征根 对应齐次方程的通解： 设非齐次方程特解为 x y x b x b 2 0 1 * = ( + )e 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 特解为 * ( 1)e . 2 2 1 x y = x − x − 代入方程得 − b x − b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( )e . 2 2 2 1 x − x + x 解: 对应的齐次方程的特征方程： 2 ( ) e , x f x x = = 2, m = 1 = 2 是特征方程的单根 x y y y x 2 求方程 − 5 + 6 = e 的通解
y"+3y" +2y'=1例3求解定解问题y(0) = y'(0) = y"(0) = 0解：对应的齐次方程的特征方程：r3+3r2+2r=0,特征根 r = 0, r2 =-1, r =-2对应齐次方程通解 Y =Ci+ C, e-*+Ce-2xf(x)=1,=0,m=0 =0 是特征方程的单根设非齐次方程特解为y*=bx,代入方程得2b=1，故*=亏x原方程通解为y=Ci +C,e-+C3
求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 特征根 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 对应齐次方程通解 Y = C1 x C − + e2 x C 2 3 e − + 原方程通解为 C1 y = x C − + e2 x C 2 3 e − + 对应的齐次方程的特征方程： f x( ) 1, = = 0, m = 0 = 0 是特征方程的单根 ◆例3
Ci=-34Ci +C2 +C3 = 0由初始条件得C2 = 1-C2 -2C3 = -→C3 =- 14C2 + 4C3 = 0于是所求解为3+2x+4e-x-e-
于是所求解为 y x x x 2 1 e 4 1 e 4 3 2 = − + − + − − = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 2 1 由初始条件得 −C2 − 2C3 = −
常系数非齐次线性微分方程一、f(x)=et*Pm(x)型、f(x)= exx[P(x)cosox + P,(x)sinox)型三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x P x x l x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f ( x) e P ( x) m x = 型