单位阵 A=1-→A=I反例:A A2=Ⅰ-A=I 反例:A 2 2 2 (A+n)2?42+24I+12 等式成立 22(4+D)(4-D) 推广 [
单位阵 A = → A = I ? | | 1 A = I → A = I 2 ? = 1 2 1 1 反例：A − = 2 1 2 1 2 1 2 1 反例：A ? ( )( ) ( ) ? 2 2 2 2 2 2 A I A I A I A I A AI I − + − + + + 2 2 等式成立 推广… …
例设 计算 解法二 100)(100)(000 A=110=010+100=I+B 001)(110 00 B2=0 000 0 B=O 10 n(n+ ∴A"=(I+B)”=B″+…+ n(n-1) BtnB+I (n一 B+nb+l 2
例 设 n A ，计算A = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 解法二 + = = 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Q A = I + B B = O 3 n n ∴ A = ( I + B ) B nB I n n B n + + − = + + 2 2 ( 1 ) L = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 B B nB I n n + + − = 2 2 ( 1 ) + = 1 2 ( )1 1 0 1 0 0 n n n A n n
单位矩阵的妙用 例设A、B、C为n阶方阵,且AB=BC=CA=I, 求A2+B2+C2 解=AMA4=4(BC)4=(AB)(C4)=ⅠI=I B2=BIB= B(CA)B=(BC)(AB)=1I=I 练习: 求C2 C2=CIC =C(AB)C=(CA)(BC) 所以 42+B2+C2=3 [
例 . , 2 2 2 A B C A B C n AB BC CA I + + = = = 求 设 、 、 为 阶方阵，且 解 A = AIA 2 = A(BC)A= (AB)(CA) = I I = I B = BIB 2 = B(CA)B = (BC)(AB) = I I = I 单位矩阵的妙用 练习： C2 = CIC = C(AB)C = (CA)(BC) = I I = I 所以 A B C 3I 2 2 2 + + = 2 求C
矩阵多项式 设A是n阶方阵 ∫(x)=x2+2x-8 则f(4)=A2+2A-81 (f(A)=42+2A8) 称为矩阵A的一个多项式。 矩阵多项式的分解 分解*式 因x2+2x-8=(x-2)(x+4 所以A2+2A-8I=(4-2D(A+4D) [
例 设 A 是n阶方阵， ( ) 2 8 2 f x = x + x − ( ) 2 8 2 则 f A = A + A− I 称为矩阵A的一个多项式。 矩阵多项式 ( ( ) 2 8 ) 2 f A = A + A− * 称为矩阵A的一个多项式。 2 8 ( 2)( )4 2 因 x + x − = x − x + 2 8 ( 2 )( 4 ) 2 所以 A + A− I = A− I A+ I 矩阵多项式的分解： 分解*式