数学模型 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2…,Cn对目标O的重要性 C: C=aA=(amxn,a>o, asI 1/2 选择旅游地 7554成对比较阵 A=1/41/711/21/3 1/31/5211 A是正互反阵 1/31/53 要由A确定C1…,Cn对O的权向量
= 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A i j i j n n i j j i a A a a a 1 = ( ) , 0, = 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1 ,C2 ,…,Cn对目标O的重要性 i j ij C :C a A~成对比较阵 A是正互反阵 要由A确定C1 ,…,Cn对O的权向量 选 择 旅 游 地
(数学模型 成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况 a2=1/2(C:C2)一致比较 不一致 a13=4(C1:C3) 8(C2:C) 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 w w W(=1)→,V2…,Wn =(w,y2,…,wn)~权向量
= n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 = 2 1 7 1 1/ 2 4 成对比较的不一致情况 A 1/ 2 ( : ) 12 C1 C2 a = 4 ( : ) 13 C1 C3 a = 8 ( : ) 23 C2 C3 a = 一致比较 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 W w w wn ( ) , , , =1 1 2 aij wi wj 令 = / w = (w1 ,w2 , ,wn ) T ~ 权向量 成对比较阵和权向量 不一致
数学模型 成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足an·a1k=41,,,k=1,2,,n 的正互反阵A称一致阵,如 致阵·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n 性质·4的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵4, 建议用对应于最大特征根元的特征向量作为权 向量v,即A=v
= n n n n n w w w w w w w w w w w w A 1 2 1 2 1 1 1 成对比较完全一致的情况 a a a i j k n i j j k i k 满足 = , , , =1,2, , 的正互反阵A称一致阵，如 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 一致阵 性质 成对比较阵和权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A, 建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权 向量w ，即 Aw = w
数学模型 成对比较阵和权向量 Sat等人提出1-9度—4r取 比较尺度a值1,2,9及其互反数1,12,19 便于定性到定量的转化: 尺度a 123456789 C:C的重要性相同稍强强明显强绝对强 ar=1,12,…,19~GC的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,,1~17,…,1p9(p=2,3,4,5),d+0.1~+0.9 (d=-1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较优
2 4 6 8 比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij取 值1,2,…9及其互反数1,1/2, ,…,1/9 尺度 1 3 5 7 9 aij Ci :Cj的重要性 相同 稍强 强 明显强 绝对强 Ci Cj a ~ : ij = 1,1/2, ,…,1/9 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个. • 用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优. • 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量
(数学模型 致性检验对A确定不一致的允许范围 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵最大特征根,且=时为一致阵 定义一致性指标:CA-naI越大,不一致越严重 为衡量CI的大小,引入随机一致性指标R—随机 模拟得到ai,形成A,计算CⅠ即得RL Saty的结果如下 n123456789 RI000.580.901.121241.321.411.451.49151 定义一致性比率CR=CIR当CR<0.时通过一致性检验 ④O④
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 −1 − = n n CI 定义一致性指标: CI 越大，不一致越严重 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机 模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI. 定义一致性比率CR = CI/RI 当CR<0.1时通过一致性检验 Saaty的结果如下