§4具有某些特性的函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性 有界函数 单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 前页)后页)(回
前页 后页 返回 §4 具有某些特性的函数 一、有界函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 四、周期函数 三、奇函数与偶函数 二、单调函数 返回
、有界函数 定义1设∫定义在D上 若M∈R,x∈D,∫(x)≤M,则称∫在D上有上界; 若丑L∈R,Wx∈D,f(x)≥L,则称f在D上有下界; 若M∈R,vx∈Df(x)≤M,则称f在D上有界 易证∫在D上有界台∫在D上既有上界又有下界 若vM∈R,彐x0∈D,f(x)>M,则称∫在D上无上 界; 前页】后页)返回
前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界； M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界； L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上 M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；
若vL∈R,王xED,f(x)<L,则称∫在D上无下界; 若vMeR彐x∈ED,f(x)>M,则称∫在D上无界 例1求证:∫(x)=tnx在0,)上无上界,有下界 证L=0,则x∈0,),f(x)≥L,因此∫在 10,)上有下界.MM∈R,令x0= arctan(M+1, 2 则x0∈[0,) 且tanx=M+1>M,因此∫在 10,)上无上界 前页】后页)返回
前页 后页 返回 若 则称 在 上无界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界 = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L = ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M = + 且 因此 f 在 若 L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；
例2设函数f(x)2g(x)是D上的正值有界函数 求证:sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)sup{g(x r∈D x∈D x∈D 证Vx∈D,∫(x)≤sup{f(x)}, g(x)ssupg(x), 因此∫(x)g(x)≤sup{f(x)}sup{g(x)}, 由x的任意性,可知sup{f(x)}sup{g(x)} 是{f(x)g(x)一个上界 因此sup{f(x)g(x)≤sup{f(x)}sup{g(x) x∈D r∈D ∈D 前页】后页)返回
前页 后页 返回 g(x) sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )}, 由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此 证 x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证 例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数
例3设f(x),g(x)在D上有界证明: infff(x)+g(xsinfff(x)+supg(x) r∈D r∈D x∈D 证VE>0,3x0∈D,f(x)<inf{f(x)+E r∈D 又g(xn)≤sup{g(x)},故 x∈D f(o)+gxo)<inff(x)+supg(x))+8 x∈D 因此 inf{(x)+g(x)≤∫(x0)+g(x) ≤inf{f(x)}+sup{g(x) r∈D r∈D 前页】后页)返回
前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x + + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D x D f x f x + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x 又 故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x + + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x + + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x +