第八节 第十二章 一般周期的数的傳里叶級飘 周期为2l的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式
第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章
周期为2l的周期函数的傅里叶级数 周期为2/的函数f(x) 变量代换 周期为2π的函数F(z) 将F(x)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式
一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2 的函数 F(z) 变量代换 l x z 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式
定理.设周期为2的周期函数f(x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=0+∑ nox nTx a COS +b sin (在f(x)的连续点处) 其中 /()sI
狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个严格极值点 an x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 l 1 x l n x f x l l ( ) cos d (n 0,1, 2,) (n 1, 2,) 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 1 0 cos sin 2 ( ) n n n l n x b l n x a a f x (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理
证明:令 几x 刂x∈[变成∈元,元 令F(=)=f(x)=f(),则 T F(x+2)=f( (+2兀 =f(-+2 T f(-)=F(=) 所以F(是以2π为周期的周期函数,且它满足收敛定 理条件,将它展成傅里叶级数 F()=0+ ∑(a 2 n-7, cosn2 +b sin nz (在P(2)的连续点处)
证明: 令 l x z , 则 x [l , l ] z [, ], 令 F(z) ( ) , lz f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) ( l z F z f ( 2l ) lz f ( ) lz f F(z) 所以F(z) 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅里叶级数: 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nz b nz a F z ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以2 为周期的周期函数
n=LF(2) coned2(n=0,1,2,) T 其中 T F(3)sin nz dz (n=1,2,3,…) J一 IL X nTX f( XCOS dx(n=0,1,2,…) n Tx n=71 xsIn dx(n=1,2,3,…) 00x ∑( nTx +b sin 2 (在f(x)的连续点处)证毕
a F z nz z n ( ) cos d 1 其中 b F z nz z n ( )sin d 1 令 l x z l an 1 x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 l n x b l n x a a f x n n n cos sin 2 ( ) 1 0 (n 0,1, 2,) (n 1, 2, 3,) (n 0,1, 2,) (n 1, 2, 3,) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d 证毕