实变函数(第10讲) 主讲人:朱培勇 电子科技大学数学科学学院
实变函数（第10讲） 主讲人：朱培勇 电子科技大学数学科学学院
第10讲 教学内容: (1)直线上的点集 (2)习题选讲 20211/26 实变函数(第十讲
2021/1/26 实变函数（第十讲） 2 第 10 讲 教学内容： (1)直线上的点集 (2)习题选讲
33直线上的点集 定理11R中任何有界开集都是至多可数个互不相交的开 区间的并。 证:设G是有界开集,则彐M>0,使得Gc(-M,M对于x∈G, 因G是开集,故aB∈R(a<B),使得x∈(a))cG。 则={a∈RB∈,使x∈(a,B)=G}=[-M,M 0≠B∈Rae 使x∈(a)=G}=[M,M 故可证a=mf{∈B∈,使x∈(a,B)cG B=suP{B∈R∈R,使x∈(a,B)<c} 则 a x B 现在证明: (i)(a,B)<G且a,BgG。 il)wx,yG,或者(a,B)=(an,B),或者(an,B)(a,月)=② 20211/26 实变函数(第十讲)
2021/1/26 实变函数（第十讲） 3 3.3 直线上的点集 定理 11 1中任何有界开集都是至多可数个互不相交的开 区间的并。 证：设 G 是有界开集，则M 0，使得G M M −( , )对于 x G， 因 G 是开集，故 , ( )，使得x G ( , ) 。 则 = ，使x G M M − ( , , ) ，使x G M M − ( , , ) 故可证 x = inf ，使x G ( , ) x = sup ，使x G ( , ) 则 x x x 。 现在证明： (i) ( x x , ) G且 , x x G。 (ii) x y G , ，或者( x x y y , , ) = ( )，或者( x x y y , , ) ( ) =
事实上,(A,取、,。m由吃的定义, 彐a,/∈R,使得x∈(a,B)<G,并且a≤a<a+δ≤a+(x-a)=x,又 由/的定义丑a'∈R,Ba使x∈(al,B)cG, 且B≥B>B.-6≥B-(B.-x)=x,故 x∈(a)=(a小[x,=(aB)U(a,)=G。故x∈G, a +5 即(a3,B)c 此外,如果a,∈G,则彐a,B∈R,有α1∈(a,B)<G。即a<a1<B, 则x∈(a2,B)c(aaU(an,B)=(a,B)U(a,B)=(a,B)cG,由a1的定义有 a>a3,这与a<a矛盾,故aeG,同理BgG 现在证明〔i) 事实上,Wx,y∈G,如果(an,B)≠(an,B,,则a,≠a,或者月≠月, 不失一般性设a1≠a,,且a<以,。如果(an,B)n(an,B)≠,则可取 ∈(a,B)n(anB)。因为a∈(a)(an,B)cG,这与a,G矛盾。故 i)真。 2021126 实变函数(第十讲
2021/1/26 实变函数（第十讲） 4 事实上， x0 ( x x , )，取， = − − min , x x x x 0 0 由 x的定义， 1 , ，使得x G ( , ) ，并且 x x x x + + − = ( x x 0 0 ) ，又 由 x的定义 1 , ， 使x G ( , ) ， 且 x x x x − − − = ( x x 0 0 ) ，故 x x x G 0 ( , , , , , ) ( ) ( ) ( ) 。故 0 x G ， 即( x x , ) G。 此外，如果 x G，则 , ，有 x ( , ) G。即 x ， 则x G = = ( x x x x x x x x , , , , , , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ，由 x 的定义有 x，这与 x 矛盾，故 x G，同理 x G 。 现在证明(ii): 事实上， x y G , ，如果( x x y y , , ) ( ) ,则 x y ，或者 x y ， 不失一般性设 x y ，且 x y。如果( x x y y , , ) ( ) ，则可取 z ( x x y y , , ) ( )。因为 y x x x ( , , z G ) ( ) ，这与 y G 矛盾。故 (ii)真
定理12假设F是R中的有界闭集,则 infe F且 suprE F 证:记 a=inf x 则对于m2N,3xn∈F有a 5x、→)故F中点列{x收敛于xa x∈F C,又因为F是闭集,则α=inf∈F,同理可证 supeR x∈F 定理13.设F是非空有界闭集,则F是由一闭区间中去掉 有限个或可数个互不相交的开区间而成。 证:设F是非空有界闭集,由定理12a= infe F,B=spx∈F。 因此Fc[a用且[a月F=(a,B)-F,由定理11有界开集(a,B)-F可 表成至多可数个开区间{a,B)(其中N≤C)的并,即 ,]-F=UaB)从而F=[a,-∪(a,B)。 20211/26 实变函数(第十讲
2021/1/26 实变函数（第十讲） 5 定理 12 假设 F 是 1中的有界闭集，则inf x F x F 且sup x F x F 。 证：记 inf x F x = ，则对于 n ， n x F 有 ( ) 1 n x n n + → → 。故 F 中点列xn收敛于 ，又因为 F 是闭集，则 inf x F F = ，同理可证sup x F x F 。 定理 13. 设 F 是非空有界闭集，则 F 是由一闭区间中去掉 有限个或可数个互不相交的开区间而成。 证：设 F 是非空有界闭集，由定理 12 inf x F x F = ， sup x F x F = 。 因此F , 且 , , − = − F F ( ) ，由定理 11 有界开集( , ) − F可 表成至多可数个开区间( i i , )i （其中 C0）的并，即 , , ( i i) i F − = 从而 , , ( i i) i F = −