闽江学院：正交变换与正交矩阵（戴立辉、林大华、林孔容）

正交变换与正交矩阵 m it.Iw 戴立辉林大华林孔容 I s 1ai Ill ri ati 闽江学島 闽江学院数学系,福建福州350108)

正交变换与正交矩阵 戴立辉 林大华 林孔容 (闽江学院数学系，福建 福州 350108 )

摘要介绍正交变换的概念,研究线性变换为正交变 换的等价条件;从矩阵理论的角度,探讨正交矩阵的 常用性质 关鍵词正交变换;正交矩阵;等价条件;性质 、正交变换 定义1.1设A是欧氏空间V的一个线性变换, 若A保持向量的内积不变,即对于任意的a,B∈V 都有(Aa,Aβ)=(x,β),则称A为V的正交变换

摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变 换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的 常用性质. 关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质 一、正交变换 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换, 若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V 都有(A，A) = (，)，则称A为V的正交变换

二、等价条件 定理2.1设A是n维欧氏空间V的一个线性变换, 则下列命题等价: 1)A是正交变换; 2)A保持向量的长度不变,即对于a∈V,|Aa|=a; 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基; 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵 证:1)→2)对于α∈V,由(Aa,Aa)=(a,a 即得 Aa=a

二、等价条件 定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换, 则下列命题等价: 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=||； 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：1）2）对于V,由(A，A)=(，), 即得： |A|=||

2)→3)设e1,E2,…,En是V的任一标准正交 基,记+6=∈V 由Aa|=a或(Aa,Aa)=(ax,a)得 (A(+61),A(t+8;)=(8+E;,8+6) 而(A(;+E;),A(s;+,) (Asi, As: )+2(Asi, As )+(As:, 8) (E,E)+2( 18;)+ 8;8 (cn+s;,sn+s;)=(,c)+2(s;,ε;)+(ε;,s) 0.i≠ (A8, A8=( 故A81,A82,…,AEn是V的一组标准正交基

2）3）设1，2，…，n是V的任一标准正交 基,记i+j =V. 由|A|=||或(A，A)=(,)得 (A(i+j)，A(i+j))=(i+j， i+j） 而 (A(i+j)，A(i+j)) =(Ai，Ai)+2(Ai，Aj)+(Aj，j) =(i，i)+2(i，j)+(j，j) (i+j， i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j) 0, ( , ) ( , ) 1, i j i j i j A A i j        = =   = 故 A1，A2，…，An是V的一组标准正交基

3)→4)设81,E2,…,En,是V的标准正交基, A(1,E2,…,n)=(A,Ae2,…,Acn )A 由3),A61,AE2,…,Acn是V的标准正交基, 故A可看作是由标准正交基81,ε2,…,εn到标 准正交基A1,Ae2,…,AEn的过渡矩阵,A是正 交矩阵

3)4）设1，2，…，n是V的标准正交基, A(1，2，…，n)=(A1，A2，…，An) = (1，2，…，n)A 由3), A1，A2，…，An是V的标准正交基, 故A可看作是由标准正交基1，2，…，n到标 准正交基A1，A2，…，An的过渡矩阵,A是正 交矩阵