第七节极限运算法则 极限运算法则 ●二、求极限方法举例
第七节 极限运算法则 一、极限运算法则 二、求极限方法举例
极限运算法则 定理设limf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim∫(x)±g(x)=A±B; (2)limf(x)·g(x)=A·B; (3)lim f(x) A ,其中B≠0 g(x) B 证∵Iimf(x)=A,img(x)=B f(x)=A+a,g(x)=B+β.其中α→>0,B→0 由无穷小运算法则得
一、极限运算法则 定理 lim ( ) ,lim ( ) , (1) lim[ ( ) ( )] ; (2) lim[ ( ) ( )] ; ( ) (3) lim , 0 ( ) . f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x A B g x B = = = = = 设 则 其中 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
f(x)±g(x)-(A±B)=±β→0.:(1)成立 If(x)·g(x)-(A·B)=(A+)(B+β)-AB =(4B+B0)+β→0 (2)成立 f(x)AA+aa Ba-AB B0-Aβ→0 g(x)BB+βBB(B+β) 又:B→0,B≠0,彐8>0,当0<x-x0<86时, B B+β≥B-β>B B 2
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
B(B+B)>B2,故1 B(B+B)B2有界, (3)成立 推论1如果lim(x)存在,而c为常数,则 lim(cf(x)1=climf(x) 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果imn(x)存在,而n是正整数则 lim[f(x)]=[imf(x)
推论1 limf(x) , c , lim[cf(x)] = climf(x). 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. n n limf(x) , n , lim[f(x)] = [limf(x)] . 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
二、求极限方法举例 例1求lmx-3x+5 解∵lim(x2-3x+5)=imx2-lim3x+im5 2 2 →2 (lim x)-3limx+lim5 →2 x→2 22-3.2+5=3≠0, limx-liml x→2 23-17 2x-3x+5 lim(x 2 3x+5)33 x→2
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =