S3欧拉积分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数一一 Γ函数和B函数. 一、Γ函数 二、B函数 三、Γ函数与B函数之间的关系 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 B 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 B 函数之间的关系
T函数 含参量积分: T(s)= xe dx, s>0, (1) 称为格马函数 r函数可以写成如下两个积分之和 r(s)=Lx'e dx+ x e dx=l(s)+J(s) 其中I(s)当s≥1时是正常积分,当0<s<1时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得); 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： + − − = 1 0 ( ) e d , 0 , (1) s x s x x s 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： + − − − − = + = + 1 1 1 0 1 ( ) e d e d ( ) ( ) , s x s x s x x x x I s J s 其中 I s s ( ) 1 当 时是正常积分,当 0 1 s 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
J()当s≥0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得)所以含参量积分(1)在s>0时收敛, 即r函数的定义域为s>0 1.r(s)在定义域s>0内连续且有任意阶导数 在任何闭区间,b(a>0)上,对于函数I(s),当 0<x≤1时有xe*x"ex,由于「x"'edr收 敛,从而I(3)在[a,b上也一致收敛,对于J(s),当 前页)后页)返回
前页 后页 返回 J s s ( ) 0 当 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s 0 时收敛, 即 函数的定义域为 . s 0. 1. ( )s 在定义域 s 0 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 [ , ]( 0) a b a 上, 对于函数 I s( ) , 当 0 1 x 1 1 e e , s x a x x x − − − − 1 1 0 e d a x x x − − 时有 由于 收 敛, 从而 I s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 对于 J s( ) , 当
l≤x<+时,有 e<x-let,由于 x-e dx 收敛,从而J(s)在u,b上也一致收敛,于是r(s)在 s>0上连续. 用上述相同的方法考察积分 x e dx= xerox 0 as 它在任何区间{a,b(a>0)上一致收敛于是由定理 1910得到r(s)在a,b上可导,由a,b的任意性,r() 前页)后页)返回
前页 后页 返回 s 0 上连续. 用上述相同的方法考察积分 ( ) + + − − − − = 1 1 0 0 e d e ln d . s x s x x x x x x s 它在任何区间 [ , ]( 0) a b a 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 ( )s 在 [ , ] a b 上可导, 由a, b的任意性, ( )s 1 + x 1 1 e e , s x b x x x − − − − 1 1 e d b x x x + − − 时 , 有 由于 收敛,从而 J s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 于是 ( )s 在
在S>0上可导,且 T'(s)=xse Inxdx,S>0. 0 同理可证 rm()=[x-le(nx)dx, s>0,n=2 2.递推公式r(S+1)=I(s) 对下述积分应用分部积分法,有 xe dx=-x'e s-1 +sr e dx 0 A -Aets xe dx 前页)后页)返回
前页 后页 返回 1 0 ( ) e ln d , 0 . s x s x x x s + − − = 同理可证 ( ) 1 0 ( ) e (ln ) d , 0, 2,3, . n s x n s x x x s n + − − = = 2. 递推公式 ( 1) ( ) s s s + = 对下述积分应用分部积分法, 有 1 0 0 0 e d e e d A A A s x s x s x x x x s x x − − − − = − + − − − = − + 1 0 e e d . A s A s x A s x x 在 s 0 上可导, 且