欧式空间 17.1.1点的分类及其性质 1.内点、外点、边界点 在Rn中给定一个集合S,按照点与集合S的位置关系可将R中的点分为 类S的内点、外点、边界点 S的全体内点组成的集合称为S的内部记为intS或S S的全体边界点组成的集合称为S的边界,记为0s
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2.聚点 如果按照去心邻域进行分类则可将R中的点分为S的聚点与非聚点两类 对于mERv,如果在m的仨一去心邻域中总有S的点则称a为S的聚点 S的全体聚点组成的集合记为S,称为S的导集 显然内点一定是聚点,外点一定不是聚点 如果m∈S,且存在m的一个邻域Oc)ns={m},则称为S的孤立点 孤立点一定不是聚点,而边界点有可能是聚点也有可能是孤立点 下述两个等价定义 定义(1)设点x∈Rn,如果在它的任何邻域O6(m)内总会有S中的无穷 多个点则称x是S的一个聚点 定义(2)设点a∈R”,如果存在由相异点组成的一个点列{an}CS,an≠ r(=1,2,…)使得n→正则称为S的一个聚点,这里cn→的含义是 ditn,)→0
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例题1711证明集台S的导集的聚点是S的聚点即(4)CS 17.12集合的分类及其性质 1.开集、闭集如果imts=S,则称S为开集开集有如下重要性质 (1)任意多个开集的并集是开集 (2)有限多个开集的交集是开集; (3全空同R和空集②都是开集 开集的余集定义为闭集 S的闭包为5=Su:.§=Sud5 下列条件等价:(1)S是闭集; (2)scS(即S=5); (3)ascS{即S=S
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例题1712设S为R中的一个集合,则∂s为闭集 2紧集,凸集 设EcR°如果E中的任一点列都有一子列收敛于E中的一 点,则称E是R中的一个列紧集 下面的定理道出了R中的列紧集实际上是有界闭集 定理84.1R中的集合E为列紧集的充分必要条件是E为有界闭集 设S是Rn的一个集合,如果在S的任何一个无限开覆盖 {Oa}aet中总可以找出有限个开集O1…,O,同样可以覆盖S,即UO2S 则称S是R的一个紧集 在R中紧集与有界闭集的定义是等价的(紧性定理
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设E是R的一个集合若m1,x2∈E,有x=tax1+(1-t)x2∈E(0≤ t≤1)则称E为凸集从几何上看,以x,m2为端点的直线段位于E内 例题1713紧集的闭子集是紧巢 3.连逼集、区域 设D是R的一个集合,如果当D分解为两个不相交的 非空子集的并集AUB时有44∩B≠或者A∩B≠则称D为连通集 连通的开集称为区域或开区域开区域的闭包称为闭区域 当D是开集时我们有:开集D是连通集的充分必要条件是D不能分解为两个 不相交的非空于开集的并
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