GAODENGSHUXUE DIANZHIAOAN O 第六节多元函数的极值 、多元函数的极值 二、多元函数的最大值 与最小值 三、条件极值
第六节 多元函数的极值 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值 与最小值 三、条件极值
多元函数的极值 定义107设函数=(xy)在点x的某一邻域内有定 义,如果在该邻域内任何点(x)的函数值恒有 f(xy)≤f(x0y)(或(xy)2/(x03o) 则称点(x0b为函数的极大值点(或极小值点)(x03)为 极大值(或极小值),极大值和极小值统称为极值极大 值点和极小值点统称为极值点 上页 下下页
一、多元函数的极值 定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内有定 义，如果在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有 f(x,y)≤f(x0 ,y0 ) (或f(x,y)≥f(x0 ,y0 ))， 则称点(x0 ,y0 )为函数的极大值点(或极小值点).f(x0 ,y0 )为 极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大 值点和极小值点统称为极值点
例1函数f(x,y)=1+x2+2y2,在原点(00)处取得极 小值1因为,对于任何点(xy)(0,0),都有 f(xy)>f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值该函数的图形是椭圆抛物面 在曲面上点(0,0,1)的坐标小于曲面上其他点的坐标 上页 下下页
例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极 小值1.因为，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有 2 2 f (x, y) =1+ x + 2y f(x,y)>f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面. 在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标
例2函数f(xy)=1-x2-2y2,在原点0.0处取得极 大值因为对于任何(xy)≠(0.0),都有 f(xy)<f(0.0)=1 这个函数的图形是椭圆拋物面在曲面上点(001)的坐 标大于曲面上其他点的坐标 上页 下下页
例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极 大值1.因为对于任何(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)<f(0,0)=1 这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐 标大于曲面上其他点的z坐标. 2 2 f (x, y) = 1− x − 2y
定理106(极值存在的必要条件)设函数(xy)在点 (x0)取得极值,且在该点的偏导数存在,则必有 fx(x0,y0)=0,f(x0,y)=0 证由于z(xy)在点(x)取得极值,所以当y保持常量 y时,对元函数=(x在点x点也必有极值,根 据元函数极值存在的必要条件,得 f(xo,y0)=0 同理可证f(x2yo)=0 使f(xyn)=0,f(x0,)=0同时成立的点(x0),上页 下下页 称为函数(xy)的驻点
定理10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点 (x0 ,y0 )取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 ( , ) 0, ( , ) 0. f x x0 y0 = f y x0 y0 = 证 由于z=f(x,y)在点(x0 ,y0 )取得极值，所以当y保持常量 y0时，对一元函数z=f(x,y0 )在点x0点也必有极值，根 据一元函数极值存在的必要条件，得 ( , ) 0. f x x0 y0 = 同理可证 ( , ) 0. f y x0 y0 = 使 同时成立的点(x0 ,y0 ), 称为函数f(x,y)的驻点. ( , ) 0, ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 =