第五章连续函数 郇中丹 2006-2007学年第一学期
1 第五章 连续函数 郇中丹 2006-2007学年第一学期
基本内容 §1函数在一点的连续性 §2初等函数的连续性 §3重要函数极限 s4在集合上连续的函数 §5闭区间上连续函数的性质 §6 致连续性 §7闭集和开集及紧性的概念
2 基本内容 • §1 函数在一点的连续性 • §2 初等函数的连续性 • §3 重要函数极限 • §4 在集合上连续的函数 • §5 闭区间上连续函数的性质 • §6 一致连续性 • §7 闭集和开集及紧性的概念
§1数在一点的连续性 函数在一点连续的定义 函数在一点的左连续和右连续 函数在一点连续的性质 连续函数例子
3 §1.函数在一点的连续性 • 函数在一点连续的定义 • 函数在一点的左连续和右连续 • 函数在一点连续的性质 • 连续函数例子
函数在一点连续的定义 定义:设IcR为区间,fⅠ→>R说f在x∈Ⅰ处连续,如 果∨8>0,36=6(8)>0,∨x∈I|x-xo<6,f(x)-f(x)<8 ·在一点连续的等价说法 O)lim(3)=f(): 2) im f(x)=f im x) x→x x→x0 x→>x0 (3)(x)=(x)+0C(x(x)→xx) (4)vE>06>0,f(0(x6-6,x+0)c((x)-6,f(x)+E)
4 函数在一点连续的定义 • 定义:设IR为区间,: I→R.说在x0I处连续, 如 果e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e. • 在一点连续的等价说法: (4) 0, 0, ( ( , )) ( ( ) , ( ) ) (3) ( ) ( ) ( ), ( ) 0( ) (1) lim ( ) ( ); (2) lim ( ) lim ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e d d d e e − + − + = + → → = = → → → f I x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x x x x x x
函数在一点的左连续和右连续 左连续和右连续:设f:IR,X∈不是端点如果 f(*o)=lim f(x)=f(xo ); x→>x 就说f在x处右连续;如果 f(o=lim f(x)=f(o) x→>x0 就说f在x处左连续.f(x)和f(x)分别叫做在xo 处的右极限和左极限 命题设fI-R,X∈I则在x处连续当且仅当 (1)x不是端点时,f在x处左右都连续;(2)x为左 (右端点时,在x处右(左)都连续#
5 函数在一点的左连续和右连续 • 左连续和右连续: 设: I→R, x0I不是端点. 如果 就说在x0处右连续；如果 就说在x0处左连续. 和 分别叫做在x0 处的右极限和左极限. • 命题: 设: I→R, x0I. 则在x0处连续当且仅当: (1) x0不是端点时,在x0处左右都连续; (2) x0为左 (右)端点时, 在x0处右(左)都连续.# ( ) lim ( ) ( ); 0 0 0 f x f x f x x x = = → + + ( ) lim ( ) ( ); 0 0 0 f x f x f x x x = = → − − ( ) 0 + f x ( ) 0 − f x