第一节准 二重积分的概念与性质 引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质
引例测M人 z=f(r,y) 1曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底:xoy面上的闭区域D 顶:连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法:类似定积分解决问题的思想 大化小,常代变,近似和,求极限
解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D
1)大化小 用任意曲线网分D为n个区烯 z=f(,y) AOi12△G2,…AOn 以它们为底把曲项柱体分为n个f(k 小曲顶柱体 2,3常代姿46 D M∞0 k2k 在每个△k中任取一点(k,k),则 △k≈∫(5k,mk)AOk(k=1,2,…,n) 4)“近似和” ∑Ak≈∑f(5k,m)△k k=1 k=1
D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 n , , , 1 2 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2,3)“常代变” 在每个 4)“近似和” = n k k k k f 1 ( , ) ( , ) k k f V f ( , ) (k 1,2, ,n) k k k k = 中任取一点 则 小曲顶柱体 k ( , ) k k
5)“取极限” 2→>0≥M→ 定义△a的直径为 (△ak)=max{PP2|B2∈△ak} 令=max{(△Ok) <ksn z=f(r, y) V=imn∑f(5k,mk)△Gk k k Sk,lk
5)“取极限” ( k ) = max P1P2 P1 ,P2 k 令 max ( ) 1 k k n = = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) ( , ) k k f k ( , ) k k
2.平面薄片的质量 有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密 度为(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若(x,y)≡(常数,设D的面积为a,则 若(x,y)非常数,仍可用 D 大化小,常代变近似和,求极限 解决. 1)大化小 用任意曲线网分D为n个小区域△1A02,…,AOn 相应把薄片也分为小区域
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M = 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小区域 . D y x