2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 方程+p(x)y=q(x) 解法:(1)变易常数法:先解齐次方程,变易常数 (1) +p(x)y=q(x) 2)+p(x)y=0 C 先解齐次 -p(x)dx =lnC-「p(x)x, 齐次解为y1(x)=Ce-p(x)b 若y=y(x)为(1)的解,将(1)化为 J-p(x)×9(x) q(x) ny=+lnC1-∫p(x)kx+x dx y(x) ,-p(x e v(r) 或记为 x l·ey(x)eJp(xkh 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 z 方程： p(x) y q(x) dx dy + = z 解法：（1）变易常数法：先解齐次方程，变易常数。 （1） p(x) y q(x) dx dy + = （2） + p(x) y = 0 dx dy 先解齐次： p x dx y dy = − ( ) C p x dx y dy = ln − ∫ ( ) ， 齐次解为 −∫ ( ) = p x dx y (x) Ce 1 。 若 y = y(x)为（1）的解，将（1）化为 ( ) ( ) ( ) y x q x p x y dy = − + ， dx y x q x y = + C − ∫ p x dx + ∫ ( ) ( ) ln ln ( ) 1 ， dx y x q x p x dx y x C e e ∫ −∫ = ⋅ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ，或记为 p x dx dx y x q x y x C e e−∫ ∫ = ⋅ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ， 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 x 记C(x)=C1·e3),y=y(x)可记为 y(x=c(x)e 「p(x)d 只需求C(x)(变易常数法) y'(x=C(xe- p(xkdx-C(xp(x)e- p(xix 代入(1) C(x)exk-C(x)p(x)丁x +C(x)(xe- p(xk=o(x) 得到((x) yoo(rdx =Q(x) 于是C(x)=∫Q(x)xax+C 因此y(x)=epxd(jQ(x)ep(xkd+C (2)积分因子法:方程两边乘函数e/(x)hx ep(x ) dx y+p()y)=g(r)e p(x)dr x))=()h v(r)elp()dr (x)e p(x)d=C+g(x)e/ p(x) e ax,或记为 y(r=e p(dx (q(x)e p(xjd dx+C) sIn x 例95解方程+-y X 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 记 dx y x q x C x C e ∫ = ⋅ ( ) ( ) 1 ( ) ， y = y(x)可记为 ， p x dx y x C x e−∫ = ( ) ( ) ( ) 只需求C(x)（变易常数法） p x dx p x dx y x C x e C x p x e −∫ −∫ ′ = ′ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入（1） p x dx p x dx C x e C x p x e −∫ −∫ ′ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x p x e Q x p x dx + = −∫ 得到 ( ) ( )， ( ) C x e Q x p x dx ′ = −∫ 于是C x Q x e dx C 。 p x dx = ∫ + ∫ ( ) ( ) ( ) 因此 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) y x e Q x e dx C p x dx p x dx = ∫ + −∫ ∫ （2）积分因子法：方程两边乘函数 ∫ p(x)dx e , ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ′ + = p x dx p x dx e y p x y q(x)e ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) = ′ p x dx p x dx y(x)e q(x)e , ( ) ( ) y x e C q x e dx p x dx p x dx = + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ，或记为 ( ) ( ) y(x) e ( q(x)e dx C) p x dx p x dx = ∫ + −∫ ∫ 。 例 9.5 解方程 x x y dx x dy 1 sin + = 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 Sin x dx 解1: (C+∫ (C +sin x dx)=-(C-cos x) 解2:积分因子为e(hx x,两边同乘x,得x;+y=Slnx 即有(xy)=sinx,两边积分,xy=」 sin xdx+C 一般解为y=-(-c0Sx+C) y-y=sinx 例9.6微分方程 的解为。 丌 0 」dx 解y(x)=ex(C+∫ xsin xe x dx) y(x)=x(C+sin x dx)=x(c -cos x) 0,得到 丌丌 (C-0)=0,C=0 特解为y=- XCoSx 924贝努利方程 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解 1: ) sin ( ) ( 1 1 e dx x x y x e C dx x dx x ∫ = + ⋅ −∫ ∫ ( sin ) 1 C x dx x ∫ = + ⋅ ( cos ) 1 C x x = − 。 解 2: 积分因子为 ，两边同乘 ,得 ( ) e x p x dx = ∫ x y x dx dy x + = sin . 即有( ) x y = sin x , 两边积分： ′ x y = ∫sin xdx + C 一般解为 ( cos ) 1 x C x y = − + 。 例9.6 微分方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − = 0 2 sin 1 π y y x x x y 的解为 。 解： ( ) ( sin ) 1 1 y x e C x xe dx dx x dx x = + ∫ ∫ −∫ y(x) = x(C + ∫sin x ⋅dx) = x(C − cos x) 由 0 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π y ，得到 ( 0) 0, 0 2 2 ⎟ = − = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y C C π π ， 特解为 y = −x cos x。 9.2.4 贝努利方程 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 方程.+p(x)y=q(x)y(n≠0,1 例97求解y+y= 2x 2y 2(y2)+-y 2 yy+y 令l!=y 得到一阶线性方程 21′+-l=x-,或:l+-、 dx+C) x2+c x 一般解法:用y除以方程两端将其化为 p(x)y=g(x) 当n 0. 阶线性方程 当n=1:可分离变量类型。 当n≠0,0F1时:方程化为 或y3+p(x)y=q(x) 这显然是关于少 的一个一阶线性方程显然可令l(x) n y·y,或记为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼 电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 z 方程： n p x y q x y dx dy + ( ) = ( ) ( n ≠ 0,1) 例 9.7 求解 y x y x y 2 2 1 2 ′ + = ，n = −1。 1 2 2 2 y x x yy ′ + = ， 2 1 2 2 2( ) y x x y ′ + = ， 令 ，得到一阶线性方程 n u y y − = = 2 1 1 2 2 u x x u ′ + = ， 或： 2 2 1 2 x u x u ′ + = 。 ) 7 1 ( 1 ) 2 ( 1 2 7 2 x C x dx C x x x u = ∫ ⋅ + = + 。 一般解法： 用 除以方程两端将其化为, n y ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy y n n + = − − ， 当n = 0 ：一阶线性方程 当n =1： 可分离变量类型。 当n ≠ 0,or 1时：方程化为： 或 ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy y n n + = − − ， 这显然是关于 的一个一阶线性方程.显然可令 n y 1− n u x y − = 1 ( ) u x n y y n ′ = − ⋅ ′ − ( ) (1 ) ，或记为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 Jy u(x y+p(x)yn=q(x),得到阶线性方程 l(x)+p(x)=g(x),或记成标准形 l(x)+(1-m)p(x)=(1-n)q(x) 例98解方程xy+xy=y 解:化为贝努利方程 y+=y 1三 2 令l=y,方程化为l2 l=x(C-∫ ax),得到l +Cx。 X 原方程的解为 +x y 2x 9.25可凑成复合函数微分形式的方程,积分因子 能凑全微分的部分先凑好;主要公式是 udv+rdu=(uv). ay va u 例99解方程ydx+(x-3x3y2)dhy=0 yx+(x-3x3y2)=0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ( ) 1 1 y u x n y n ⋅ ′ − ′ = ( ) ( ) 1 y y p x y q x n n ′ + = − − ，得到一阶线性方程 ( ) ( ) ( ) 1 1 u x p x u q x n ′ + = − ，或记成标准形 u ′(x) + (1− n) p(x)u = (1− n)q(x) 例 9.8 解方程 . 2 2 x y ′ + xy = y 解：化为贝努利方程: 2 2 1 1 y x y x y ′ + = ，n = 2， 令 ，方程化为 −1 u = y 2 1 1 x u x u ′ − = − ， ) 1 1 ( 2 dx x x u = x C − ∫ ，得到 Cx x u = + 2 1 。 原方程的解为 Cx y x = + 2 1 1 。 9.2.5 可凑成复合函数微分形式的方程, 积分因子 能凑全微分的部分先凑好；主要公式是 udv + vdu = d(uv), ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − u v d u udv vdu 2 例 9.9 解方程 ( 3 ) 0. 3 2 y dx + x − x y dy = 解: ( 3 ) 0 3 2 ydx + x − x y = 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785