第2章导数与微分高等数学1（上）教案dyx=a(t-sint)例5计算由参数方程所确定的函数y=f(x)的二阶导数dx2y= a(l- cost)x=1-t3dy所确定的函数y=f(x）的二阶导数例6计算由参数方程dx(y=1-t例7 设y=er，求y(m),例8设y=sinx，求y()。(sinx)(")=sin(x+n.例9 设y=In(1+x), 求y() ,( =(-1)-- (n-1)!(1 + x)"讲例10 设y=x",求y(n)(x")(m) = n.(n-1)-(n-2)...3.2-1=n! (x")(n+1) =0用数学归纳法可证明（莱布尼茨公式）授(u.v)(") =u(y+ nu(a-l)+ n(n-1),2,(n2),y" +...+n(n-1)..(n-k+1)..u(n-k),(k) + .+ ()k!新Zchu(a-k),()k=0例11设y=xe2，求(20)课解：设u=e2*,V=x2,则u(k)=2he2x(k=1,2,",20),v'=2x,y"=2,"=0代入莱布尼茨公式，得20·19(e2*)(18) .2y(20) = (x*e2*)(20) = (e2*)(20) x2 + 20(e2*)(19) 2x +2!20.19 218 2*.2=220e2*x2+20.219e2x.2x+2!= 220 e2*(x2 +20x+95)练设y=cosx，求y(n)习小掌握初等函数二阶导数的求法.结作习题2-17,18业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉- 41 -
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 41 - 讲 授 新 课 例 5 计算由参数方程 Ó Ì Ï = - = - (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 所确定的函数 y = f (x) 的二阶导数 2 2 dx d y . 例 6 计算由参数方程 3 3 x 1 t y t t Ï Ô = - Ì Ô Ó = - 所确定的函数 y = f (x) 的二阶导数 2 2 x 0 d y dx = . 例 7 设 x y = e ，求 (n ) y . 例 8 设 y = sin x ，求 (n) y . ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x n p = + × . 例 9 设 y = ln(1 + x ) ，求 (n ) y . ( ) 1 ( 1)! ( 1) (1 ) n n n n y x - - = - + 例 10 设 m y = x ，求 (n) y . ( ) ( 1 ) ( 2 ) 3 2 1 ! ( ) x n n n n n n = × - × - L × × = ( ) 0 ( 1) = n n+ x 用数学归纳法可证明（莱布尼茨公式） ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v n u v - = - - - = Â + + - - + ¢¢ + + - × = + ¢ + L L L 例 11 设 x y x e 2 2 = ，求 (20) y 解：设 x u e 2 = ， 2 v = x ，则 k k x u e ( ) 2 = 2 (k = 1 ,2 ,L,20 ) ，v¢ = 2x ，v ¢¢ = 2，v ¢¢ ¢ = 0 代入莱布尼茨公式，得 2 ( 20 95 ) 2 2 2 ! 20 19 2 20 2 2 ( ) 2 2 ! 20 19 ( ) ( ) 20 ( ) 2 20 2 2 20 2 2 19 2 18 2 (20) 2 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 (18) = + + × × = + × × + × × = = + + e x x e x e x e y x e e x e x e x x x x x x x x 练 习 设 y = cos x ，求 (n) y . 小 结 掌握初等函数二阶导数的求法． 作 业 习题 217,18 教 学 反 思
高等数学1（上）教案第2章导数与微分课次13授课题目S2.5函数的微分教学目标：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点？疑点）块正方形金属薄片收温度变化的影响，其边长由x。增加到x。+Ax时，问次薄片面积改变了多少？A=(x +Ax) -x = 2x,Ar+(Ax)Ax复MA包含两部分，2xAx和(Ax)，相对比较习（Ax）比2xAx小得多，而且1xA=x引(Ax)?M-2xAx = limlim=lim Ax=0入AxAr-→0△rAr→0X这样，当△x很小时，A~2xAx，而且-2xAx=o(Ax)对于一般的函数y=f(x)，当自变量x从x增加到x+△x时，函数增量Ay=AAx+o(Ar)、微分的定义边长为x的正方形的面积A=x2，如果边长从x增加到x。+△x时，面积的增量为A =(x +Ax)2 - x = 2xAx +(Ax)A包含两部分，2xAx和(Ax)2。相对比较（Ax）比2xAx小得多，而且(A) = lim x =0AA-2xAxlim=limAr->0ArAr-0AxAr-→0这样，当△x很小时，A~2xAx，而且A-2xAx=0(Ax)讲对于一般的函数y=f(x），当自变量x从x增加到x。+△x时，函数增量Ay = f(x +Ax)- f(xo)= AAx +o(Ax)定义设函数y=f(x)在某区间I内有定义，x及x。+△x属于.如果函数的增量可表为授Ay=f(x+Ar)-f(x)=AAr+o(Ax)其中A为与△x无关的常数，则说函数y=f(x)在x处是可微的，A△x称为函数y=f(x)在x处的微分，记为dy，即新计算机与数学基础教学部杨淑辉.42
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 42 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 §2.5 函数的微分 课次 13 教学目标：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分 教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 一块正方形金属薄片收温度变化的影响，其边长由 0 x 增加到 x + Dx 0 时，问次薄片面积改变了多少？ 2 2 2 0 0 0 DA = (x + Dx) - x = 2x Dx + (Dx) D A包含两部分， 0 2x Dx 和 2 (Dx) ．相对比较 2 (Dx) 比 0 2x Dx 小得多，而且 2 0 0 0 0 2 ( ) lim lim lim 0 x x x A x x x x D Æ x D Æ x D Æ D - D D = = D = D D 这样，当D x 很小时， 0 DA ª 2x Dx ，而且 0 DA- 2x Dx = o(Dx) ． 对于一般的函数 y = f (x) ，当自变量 x 从 0 x 增加到 0 x + Dx 时， 函数增量Dy = ADx + o(Dx) 讲 授 新 一、微分的定义 边长为 x 的正方形的面积 2 A = x ，如果边长从 0 x 增加到 x + Dx 0 时，面积的增量为 2 0 2 0 2 0 DA = (x + D x ) - x = 2x D x + (D x ) D A包含两部分， x Dx 0 2 和 2 (Dx) ．相对比较 2 (Dx) 比 x Dx 0 2 小得多，而且 lim 0 ( ) lim 2 lim 0 2 0 0 0 = D = D D = D D - D D Æ D Æ D Æ x x x x A x x x x x 这样，当D x 很小时，DA ª x Dx 0 2 ，而且 2 ( ) 0 DA - x Dx = o Dx ． 对于一般的函数 y = f (x )，当自变量 x 从 0 x 增加到 x + Dx 0 时，函数增量 ( ) ( ) ( ) 0 0 Dy = f x + Dx - f x = ADx + o Dx 定义 设函数 y = f (x )在某区间 I 内有定义， 0 x 及 x + Dx 0 属于 I ．如果函数的增量可表为 ( ) ( ) ( ) 0 0 Dy = f x + Dx - f x = ADx + o Dx 其中 A 为与 D x 无关的常数， 则说函数 y = f (x )在 0 x 处是可微的，AD x 称为函数 y = f (x )在 0 x 处 的微分，记为dy ，即
高等数学1（上）教案第2章导数与微分dy= AAx下面论述函数y=f(x)在x。处是可微的条件：如果函数y=f(x)在x。处是可微，则课Ay = f(x +Ar)-f(x)=AAr+o(△x)从而Ayf(x+Ar)-f(xo)AAr+o(Ax)4+0(Ar)AxAxAxAr因此= lim 4Ax+o(A)= lim (A + 0(4r)limAxAr-→0 △xAx-→0Ar→0Ax即函数y=f(x)在x处是可导，而且f(x）=A反之，如果函数y=f(x)在x处是可导，即Ay= lim(x +At)- () = F(x0)limAxAr-0ArAr-→0因此得讲_ f(xo +Ar)- (x) = f(x0)+αAxAxα为△x→0时的无穷小.即授Ay=f(x+Ax)-f(x)= f(x)Ax+α·Ax= f'(x)Ax+o(Ax)综上，函数y=f(x)在xo处是可微等价于函数y=f(x)在xo处是可导，而且dy= f'(xo)Ax.新例1求函数y=x2在x=1和x=3的微分例2求函数V=x3当x=2，4x=0.02时的微分如果函数y=f(x)在任意点x都可微分，则y=f(x)在任意点x的微分为dy=f(x)△x课特别地，函数y=x的微分为dy=dx=△x。因此，函数y=f(x)的微分为dy=f(x)dx二、微分的几何意义设函数y=f(x)，当自变量x从x增加到x+△x，相应的函数增量为Ay=f(x+Ax)-f(x)=dy=f(x)Ax如图，函数y=f(x)在x处的微分dy=f(x)Ax为曲线y=f(x)的切线当x从x增加到x+△x时的增量，即QP=MQ·tanα=f(x)Axdyy=f(g)A10]x0+A三、微分公式与微分法则计算机与数学基础教学部杨淑辉-43
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 43 - 课 讲 授 新 课 dy = ADx 下面论述函数 y = f (x )在 0 x 处是可微的条件：如果函数 y = f (x )在 0 x 处是可微，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 Dy = f x + Dx - f x = ADx + o Dx 从而 x o x A x A x o x x f x x f x x y D D = + D D + D = D + D - = D D ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 因此 A x o x A x A x o x x y x x x = D D = + D D + D = D D D Æ D Æ D Æ ) ( ) lim ( ( ) lim lim 0 0 0 即函数 y = f (x )在 0 x 处是可导，而且 f ¢(x 0 ) = A ． 反之，如果函数 y = f (x )在 0 x 处是可导，即 ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x y x x = ¢ D + D - = D D D Æ D Æ 因此得 = ¢ + a D + D - = D D ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x f x x y a 为 Dx Æ 0 时的无穷小．即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 Dy = f x + Dx - f x = f ¢ x Dx +a ×Dx = f ¢ x Dx + o Dx 综 上 ， 函 数 y = f (x ) 在 0 x 处 是 可 微 等 价 于 函 数 y = f (x ) 在 0 x 处 是 可 导 ， 而 且 dy = f ¢(x )Dx 0 ． 例 1 求函数 2 y = x 在 x = 1和 x = 3 的微分 例 2 求函数 3 y = x 当 x = 2 ， Dx = 0. 02 时的微分 如果函数 y = f (x )在任意点 x 都可微分，则 y = f (x )在任意点 x 的微分为dy = f ¢(x )Dx 特别地，函数 y = x 的微分为dy = dx = Dx ．因此，函数 y = f (x )的微分为dy = f ¢(x )dx 二、微分的几何意义 设函数 y = f (x )，当自变量 x 从 x 增加到 x + D x ，相应的函数增量为 Dy = f (x + Dx ) - f (x ) ª dy = f ¢(x )Dx 如图，函数 y = f (x ) 在 x 处的微分 dy = f ¢(x )Dx 为曲线 y = f (x ) 的切线当 x 从 x 增加到 x + D x 时的增量，即QP = MQ × tana = f ¢(x )Dx 三、微分公式与微分法则
高等数学1（上）教案第2章导数与微分1．基本初等函数的微分公式(1)d(C)=0 （C为常数);(2) d(x") = xu-idx :(3) d(sin x) = cosxdx :(4) d(cosx)= -sin xdx ;(5) d(tanx) = sec2 xdx :(6) d(cotx)=-csc2 xdx ;(7) d(secx)= secxtanxdx;(8) d(csc x)=-csc xcotxdx;(10) d(e*)=e*dx;(9) d(a*)=a"Inadx;11dx :(12) d(ln x)=-dx ;(11) d(log。x)=xlnax1dx;dx(13)d(arcsinx)=(14) d(arccosx)=Vi-x3V1-311(15) d(arctanx)=dx:(16) d(arccotx)=dx1+x21+x212．函数的和、差、积、商的微分法则(1) d(u±v)=du±dv;(2) d(uv)=vdu+ udvy ;_ vdu-udy(4) d((v±0)(3)d(C·u)=C·du(C为常数);v2V3.复合函数的微分法则如果函数y=f(u)与u=g(x)都可导（可微），则复合函数y=f[g(x))可微，而且dy= y',dx = f'(u)g(x)dx由于du=g(x)dx，因此dy=f(u)g(x)dx=f'(u)du.即对于函数y=f(u)，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy=f（u)du保持不变，这个性质称为微分的形式的不变性例3y=sin(2x+1)，求dy例4 y=In(1+e*)，求dy例5 y=e，求dy例6设xy+ey=0，求dy四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算公式由微分的定义，有Ay= f(x +Ax)-f(x)= AAx+o(Ax). dy= AAx= f(x)Ax即函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差△x的高阶无穷小.因此当：f(x)±0；[Ax比较小，f(x)，f(%)容易求时得到下面两个近似公式：(1) Ay=dy= f'(x)Ax;(2)f(x+△x)= f(x)+f'(x)Ax(1)式可用于近似计算函数在x处的增量Ay；(2)式可用于近似计算函数在x附近的函数值f(x+△Ax)例7有一批半径为1cm的球，为了提高球面光滑度要镀上一层铜.厚度为0.01cm.估计一下每只球需要多少铜。（比重8.9克/cm3）计算机与数学基础教学部杨淑辉-44-
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 44 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 1．基本初等函数的微分公式 (1) d (C) = 0 （C 为常数）； (2) d x x dx 1 ( ) - = m m m ； (3) d(sin x ) = cos xdx ； (4) d(cos x ) = -sin xdx ； (5) d x xdx 2 (tan ) = sec ； (6) d x xdx 2 (cot ) = -csc ； (7) d(sec x ) = sec x tan xdx ； (8) d(csc x ) = -csc x cot xdx； (9) d a a adx x x ( ) = ln ； (10) d e e dx x x ( ) = ； (11) dx x a d x a ln 1 (log ) = ； (12) dx x d x 1 (ln ) = ； (13) dx x d x 2 1 1 (arcsin ) - = ； (14) dx x d x 2 1 1 (arccos ) - = - ； (15) dx x d x 2 1 1 (arctan ) + = ； (16) dx x d arc x 2 1 1 ( cot ) + = - ． 2．函数的和、差、积、商的微分法则 (1) d(u ± v ) = du ± dv ； (2) d(uv ) = vdu + udv ； (3) d(C × u ) = C × du （C 为常数）； (4) 2 ( ) v vdu udv v u d - = (v ¹ 0 ) ． 3．复合函数的微分法则 如果函数 y = f (u )与u = g (x ) 都可导（可微），则复合函数 y = f [g (x )]可微，而且 dy y dx f u g x dx x = ¢ = ¢( ) ¢( ) 由于du = g ¢(x )dx ，因此 dy = f ¢(u )g ¢(x )dx = f ¢(u )du ．即对于函数 y = f (u )，无论u 是 自变量还是中间变量，微分形式dy = f ¢(u )du 保持不变，这个性质称为微分的形式的不变性． 例3 y = sin(2 x +1 ) ，求 dy . 例4 ln(1 ) x y = + e ，求dy . 例5 2 x e y x - = ，求 dy . 例6 设 0 y xy + e = ，求dy . 四、微分在近似计算中的应用 1．函数的近似计算公式 由微分的定义，有 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) = ADx + o(Dx) . 0 dy = ADx = f ¢(x )Dx . 即函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差D x 的高阶无穷小.因此当： 0 f ¢(x ) ¹ 0 ； Dx 比较小， 0 f (x ) ， 0 f ¢(x ) 容易求时 得到下面两个近似公式： （1） 0 Dy ª dy = f ¢(x )Dx ； （2） 0 0 0 f (x + Dx) ª f (x ) + f ¢(x )Dx . (1)式可用于近似计算函数在 0 x 处的增量Dy ； (2)式可用于近似计算函数在 0 x 附近的函数值 0 f (x + Dx) . 例 7 有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面光滑度要镀上一层铜.厚度为 0.01cm．估计一下 每只球需要多少铜.（比重 8.9 克/cm 3）