高等数学1（上）教案第2章导数与微分例4设(x)=x-3e'cosx+sin，求(6例5设f(x)=xlnx，求f(x)sinx例6设f(x)=一，求f(x)1+cosx例7设y=x(x3-4cosx-sin1)，求y及|=l二、反函数的求导法则定理2如果函数x=f(y)在区间I,内单调、可导且f(y)0，则它的反函数y=f-(x)在区间I,=(x|x=f(y),eI,)内也可导，且讲1dy_1或[f-l(x)]}' =dx"dxf'(y)dy例8求y=arcsinx的导数授例9求y=arctanx的导数例10求y=logx的导数三、复合函数的求导法则新对于复合函数，如2xy=siny=lntanx,y=e1+x2课有求导法则，即定理3如果u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x))在点x可导，且导数为dydydy du或=f'(u).g'(x)dxdxdu dx来迎例12设y=/1-2F，求少例11设y=(2x-5)%dxdx，来山例14设y=(arctanVa)，求例13设y=erdxdx1，求迎例16 设y=J(sinx)，求例15设y=lncos-dxdxx四、基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式(2) (x")'= μ-x4-1(1) (C)'= 0,(3) (sin x)'= cosx,(4) (cosx)=-sin x,(5) (tanx)'= sec2 x,(6) (cotx)'= -csc2 x,(7) (secx)'= secxtanx,(8)(cscx)'=-cscxcotx,(9) (a*)=a*lna,(10) (e*)'=er,计算机与数学基础教学部杨淑辉- 36 -
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 36 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 例 4 设 3 ( ) 3 cos sin 6 x f x x e x p = - + ，求 ) 2 (p f ¢ . 例 5 设 2 f (x) = x ln x ，求 f ¢(x). 例 6 设 sin ( ) 1 cos x f x x = + ，求 f ¢(x). 例 7 设 3 y = x(x - 4 cos x - sin1) ，求 y¢ 及 x 1 y = ¢ ． 二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 x = f ( y )在区间 y I 内单调、 可导且 f ¢( y ) ¹ 0 ， 则它的反函数 ( ) 1 y f x - = 在 区间 { | ( ), } x y I = x x = f y y Œ I 内也可导，且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x ¢ ¢ = - 或 dy dx dx dy 1 = 例8 求 y = arcsin x 的导数 例 9 求 y = arctan x 的导数 例 10 求 y x a = log 的导数 三、复合函数的求导法则 对于复合函数，如 y = ln tan x ， 2 x y = e ， 2 1 2 sin x x y + = 有求导法则，即 定理 3 如果u = g (x ) 在点 x 可导，y = f (u )在点u = g (x ) 可导， 则复合函数 y = f [g (x )]在 点 x 可导，且导数为 f (u) g (x ) dx dy = ¢ × ¢ 或 dx du du dy dx dy = × 例 11 设 3 6 y = (2x - 5) ，求 dx dy . 例 12 设 3 2 y = 1- 2 x ，求 dx dy . 例 13 设 3 x y = e ，求 dx dy . 例 14 设 3 y = (arctan x) ，求 dx dy . 例 15 设 x y 1 = ln cos ，求 dx dy . 例 16 设 2 y = f (sin x ) ，求 dx dy . 四、基本求导法则与导数公式 1．常数和基本初等函数的导数公式 (1) (C)¢ = 0 , (2) 1 ( ) - ¢ = × m m x m x , (3) (sin x)¢ = cos x , (4) (cos x)¢ = -sin x , (5) x x 2 (tan )¢ = sec , (6) x x 2 (cot )¢ = -csc , (7) (sec x)¢ = sec x tan x , (8) (csc x)¢ = -csc x cot x , (9) a a a x x ( ) = ln , (10) x x (e )¢ = e
高等数学1（上）教案第2章导数与微分11(12) (ln x)'= (11) (log.x)'=xlnax1(13)(arcsinx)'=(14)(arccosx)'=Vi-x2Vi-x11(15)(arctanx)(16)(arccotx)"=1+x21+ x22．函数和、差、积、商的求导法则(1) (u±v)=u'±v*,(2）(Cu)=Cu(C为常数)_vu'-vu'(4) (")(3) (uv)'=uv+u',(v0).1213.反函数的求导法则如果x=f(y)与y=f-(x)互为反函数，则1dy_1或9[f-(x)]"'=dx"dxf'(y)dy4.复合函数的求导法则如果y=f(u)可导，u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x))可导，且=F(u)·g(n) 或 dy_dydudxdxdu dx例17 设y=xsin(Inx)+co(nx)], 求会,dx例18设y=sin'x-sin(r),求变dx例19 设y=}(arctanx),求dx练），来山设dx习1．掌握导数的四则运算法则和基本初等函数求导公式，小2.掌握复合函数求导法则．求复合函数导数步骤：第一步：分清函数的复合关系；结第二步：应用公式，作习题2 -4.6(2),(3),(6).8.(2),(4),(6),(8),(10)业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉- 37
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 37 - (11) x a x a ln 1 (log )¢ = , (12) x x 1 (ln )¢ = , (13) 2 1 1 (arcsin ) x x - ¢ = , (14) 2 1 1 (arccos ) x x - ¢ = - , (15) 2 1 1 (arctan ) x x + ¢ = , (16) 2 1 1 ( cot ) x arc x + ¢ = - ． 2．函数和、差、积、商的求导法则 (1) (u ± v ) = u ¢ ± v ¢ , (2) (Cu)¢ = Cu ¢(C 为常数), (3) (uv)¢ = u ¢v + u v ¢ , (4) 2 ( ) v v u v u v u ¢ - ¢ ¢ = ( v ¹ 0) ． 3．反函数的求导法则 如果 x = f ( y )与 ( ) 1 y f x - = 互为反函数，则 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x ¢ ¢ = - 或 dy dx dx dy 1 = 4．复合函数的求导法则 如果 y = f (u )可导，u = g (x ) 可导，则复合函数 y = f [g (x )]可导，且 f (u) g (x ) dx dy = ¢ × ¢ 或 dx du du dy dx dy = × 例 17 设 y = x[sin(ln x) + cos(ln x)] ，求 dx dy . 例 18 设 2 2 y = sin x ×sin(x ) ，求 dx dy . 例19 设 2 y = f (arctan x) ，求 dx dy . 练 习 设 ( ) 2 y = f sin x ，求 dy dx ． 小 结 1．掌握导数的四则运算法则和基本初等函数求导公式． 2．掌握复合函数求导法则．求复合函数导数步骤： 第一步：分清函数的复合关系； 第二步：应用公式． 作 业 习题 2 4.6(2),(3),(6).8.(2),(4), (6),(8),(10). 教 学 反 思
高等数学1（上）教案第2章导数与微分11课次授课题目S2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目标：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导、参数方程确定的函数的求导方法教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点教学方式与策略（？疑点）思考：对于函数e'+y-e=0，如何求坐，引dx入隐函数的导数显函数：函数V均由自变量x的某一个解析式所表达，例如2x+1y=x，y=log.x(a>l,a±l),y=Vx-3自变量x与因变量y之间的对应法则含于一个二元方程F(x,y)=0之中，这样确定的函数y=f(x)称为隐函数问题：对于不能显化的隐函数，如何求导呢？隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导讲F(x,y)=0两边对求导（注意=(a)）授1F(xy)=0（含导数的方程）dx例1 求由方程y*+2y=x-3x? =0 所确定的隐函数的导数会dx新dy例2设y=f(x)是由方程e"-e°=xy确定的隐函数，求dx/reo例4设=，求例3求y=xsinx（x>0）的导数dx课一般情况，对于幂指函数y=u(u>0)求导数y的方法为：先取对数，得Iny=vInu计算机与数学基础教学部杨淑辉- 38 -
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 38 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 §2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 课次 11 教学目标：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导、参数方程确定的函数的求导方法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 引 入 思考：对于函数e + xy - e = 0 y ，如何求 dx dy ？ 讲 授 新 课 一、隐函数的导数 显函数:函数 y 均由自变量 x 的某一个解析式所表达，例如 3 y = x ， log ( 1, 1) a y = x a > a ¹ ， 2 1 3 x y x + = - ． 自变量 x 与因变量 y 之间的对应法则含于一个二元方程 F(x, y) = 0 之中，这样确定的函数 y = f (x)称为隐函数． 问题：对于不能显化的隐函数，如何求导呢？ 隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导． 例 1 求由方程 2 3 0 5 7 y + y - x - x = 所确定的隐函数的导数 dy dx . 例 2 设 y = f (x) 是由方程 y x e - e ＝ xy 确定的隐函数，求 x 0 dy dx = . 例 3 求 x y x sin = （ x > 0）的导数. 例 4 设 x y y = x ，求 dy dx . 一般情况，对于幂指函数 v y = u （u > 0） 求导数 y¢ 的方法为：先取对数，得 ln y = v ×ln u
高等数学1（上）教案第2章导数与微分对x求导数，得1y=w-lnu+.uyu解得vu'vuy'=y.(v.lnu+)=u"(v.Inu+uu以上求导数方法称为对数求导法，讲(x-1)(x-2)的导数：（假定x>4）例5求y=N(x-3)(x-4)由参数方程所确定的函数的导数授[x=p(t)若参数方程确定V与x间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数，y=y(t)(x= p(t)般情况，参数方程。可确定函数y=y(x)或x=x(y)：一般由x=p(t)得(y=y(t)新(x)，代入y=y(t)，得t=@y=y(t) = y[p-'(x)] = y(x)由复合函数求导方法，得课dy_dydtdy1y't)dtdxp'@)dxdt dxdit2了，求当X=例6设dr(y=1-tx=acost一相应点的切线方程，例7求椭圆曲线在t=4ly=bsint3at?3atdy所确定的函数y=f(x)的导数例8求蔓形线x1+3J1+tdx练x-5我迎drV/+2习小1.掌握隐函数求导法则、对数求导法，结2.掌握参数方程所确定的函数求导方法，了解其求二阶导数求法作习题 2- 11.13(2),(4).14(1),(3)业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉-39-
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 39 - 讲 授 新 课 对 x 求导数，得 u u v y v u y × ¢ = ¢ ×ln + × ¢ 1 解得 ( ln ) ( ln ) u v u u v u u v u y y v u v ¢ = ¢ × + ¢ ¢ = × ¢ × + 以上求导数方法称为对数求导法． 例 5 求 ( 3)( 4) ( 1)( 2) - - - - = x x x x y 的导数．(假定 x > 4 ) 二、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程 Ó Ì Ï = = ( ) ( ) y t x t y j 确定 y 与 x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数． 一般情况，参数方程 Ó Ì Ï = = ( ) ( ) y t x t y j 可确定函数 y = y (x ) 或 x = x ( y ) ．一般由 x = j(t ) 得 ( ) 1 t x - = j ，代入 y =y (t ) ，得 ( ) [ ( )] ( ) 1 y = t = x = y x - y y j 由复合函数求导方法，得 ( ) 1 ( ) t t dt dt dx dy dx dt dt dy dx dy j y ¢ ¢ = × = × = 例 6 设 Ô Ó Ô Ì Ï = - = y t t x 1 2 2 ，求 dx dy 例7 求椭圆曲线 Ó Ì Ï = = y b t x a t sin cos 在 4 p t = 相应点的切线方程． 例 8 求蔓形线 2 3 3 3 3 , 1 1 at at x y t t = = + + 所确定的函数 y = f (x) 的导数 dy dx . 练 习 5 5 2 5 2 x y x - = + ，求 dx dy ． 小 结 1．掌握隐函数求导法则、对数求导法． 2．掌握参数方程所确定的函数求导方法，了解其求二阶导数求法． 作 业 习题 2 11 .13(2),(4).14(1),(3). 教 学 反 思
高等数学1（上）教案第2章导数与微分12课次授课题目S2.4高阶导数教学目标：了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点（？疑点）复函数的导函数仍然习y= sin x,y"= cosx,(y')'= (cos x) =-sinx可以求导，如何简洁的引记导函数的导数呢？入dy对于一般函数=f(x)，y'=(x)，[f(x)"称为f(x)的二阶导数，记成y"，f"(x)，dx?或，记dx2()=()=(x)J"= f"(x)= dr2dxdxdxdxdtyd"y类似，可定义三阶导数"=["(x)}"、四阶导数y(4）=乃至于n阶导数(）=dx4dx"即讲y(m = d"y_d(d"-l=[ f(n-I (x)dn-idx"dxf(x)称为f(x)一阶导数，函数f(x)的二阶导数的导数称为函数f(x)的三阶导数，函数f(x)的三阶导数的导数称为函数f(x)的四阶导数，.,函数f(x)的(n-1)阶导数的导数称为授函数f(x）的n阶导数.分别记作 y,., a) 或dyd"ydx3dx"新二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数例 1例2设y=x+sinx，求y"设y=elnx，求y".d?y例3求由方程e=x+y所确定的隐函数(x)的二阶导数求课dr?d'y例4设函数y=f(x)由方程x-y+siny=0确定，求dx?2计算机与数学基础教学部杨淑辉40
高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 40 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 §2.4 高阶导数 课次 12 教学目标：了解高阶导数的概念，会求简单的 n 阶导数 教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 y = sin x, y¢ = cos x,( y¢)¢ = (cos x)¢ = - sin x 函数的导函数仍然 可以求导，如何简洁的 记导函数的导数呢？ 讲 授 新 课 对于一般函数 y = f (x )，y¢ = f ¢(x )，[ f ¢(x )]¢ 称为 f (x ) 的二阶导数， 记成 y¢¢，f ¢¢(x ) ， 2 2 dx d y 或 2 2 dx d f ，记 ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 ¢¢ = ¢¢ = = = = f ¢ x ¢ dx df dx d dx dy dx d dx d y y f x 类似，可定义三阶导数 y ¢¢¢ = [ f ¢¢(x )]¢ 、四阶导数 4 4 (4) dx d y y = 乃至于 n 阶导数 n n n dx d y y = ( ) ， 即 ( ) [ ( )] ( 1) 1 1 ( ) = = = ¢ - - - f x dx d y dx d dx d y y n n n n n n f ¢(x ) 称为 f (x ) 一阶导数，函数 f (x ) 的二阶导数的导数称为函数 f (x ) 的三阶导数，函数 f (x ) 的三阶导数的导数称为函数 f (x ) 的四阶导数，LL,函数 f (x ) 的(n -1) 阶导数的导数称为 函数 f (x ) 的 n 阶导数.分别记作 (3) (4) ( ) , , , n y y L y 或 3 3 , , n n d y d y dx dx L . 二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数. 例 1 设 ln x y = e x ，求 y¢¢ . 例 2 设 4 y = x + sin x ，求 y¢¢¢ . 例 3 求由方程 y e = x + y 所确定的隐函数 y(x ) 的二阶导数求 2 2 dx d y . 例 4 设函数 y = f (x) 由方程 sin 0 2 1 x - y + y = 确定，求 2 2 dx d y