先设0<r<n,每一种排列由在〃个有次序 位置上各放上一个元素所组成第一个 位置上的元素有n种不同的取法;在它取 定之后,第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法;前两个元素取定之后,第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推,第r个位置上的元素只有n y+1种不同的取法,因此按乘法原理,所 求排列种数为 Pn=n(n-1)(n-2)…(mn-r+1) 6 2021/2/20
2021/2/20 6 先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为 ( 1)( 2) ( 1) r P n n n n r n = - - - +
或改写为 Pn=n(n-1)(n-2)…(m-r+1) n(n 1)…(n-r+1)(n-r)(n-r-1)…·321 (n-r)(n-r-1)…·3·2l 1 r) 7 2021/2/20
2021/2/20 7 或改写为 ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)( )( 1) 3 2 1 ( )( 1) 3 2 1 ! ( )! r P n n n n r n n n n r n r n r n r n r n n r = - - - + - - + - - - = - - - = -
当r=n时,所求排列种数为n!.若规定0!=1, 则上式仍然成立.因此,当0≤m时,上述 排列问题的答案总可以表达成 P (n-r)! 8 2021/2/20
2021/2/20 8 当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0<rn时, 上述 排列问题的答案总可以表达成 ! ( )! r n n P n r = -
例1计算从八个不同的元素中任取三个 的排列种数 解所求排列种数为 P3=8·76=336 9 2021/2/20
2021/2/20 9 例1 计算从八个不同的元素中任取三个 的排列种数. 解 所求排列种数为 3 8 P = = 8 7 6 336
例2从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不 同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解所得的三位数是偶数,它的个位上应 是2,4,6中的一个.因此,按置在个位上的 数有三种不同的取法,而十位,百位上的 数共有6×5种不同的取法.从而所求的个 数为 3×6×5=90 2021/2/20
2021/2/20 10 例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不 同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应 是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的 数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的 数共有65种不同的取法. 从而所求的个 数为 365=90