第九节曲率 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 巴四、小结思考题
、弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 AM R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x。xx+△x 王规定①曲线的正向与增太的方向数 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号 上页
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
王 y 单调增函数S=s(x) R A设N(x+△x,y+4y),如图, xxx+△ MNMM+N7当△x→0时, MN=√(△+(4y)2=1+(4)△x→l+y2c, M=△s→s, MT=dx)2+(p)2=1+y2d 上M=△y-d→0,故d=+y2,弧微分公式 庄“为单调增函数,故=y 上页
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 . a2 △S △S M M M M △S1 △S,/N △ 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 上页
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, M 庄M是基点 生M→m切线转角为a,Sm2 午定义 午弧段MM的平均曲率为K=a △s 生曲线C在点M处的曲率K=lmAa △s→0△s 王在mA=存在的条件下,K=a △s->0△sd ds 上页
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =