第七节曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 巴四、小结思考题
王=、曲线凹凸的定义 C B 问题:如何研究曲线的弯曲方向 x y=f(r) y=f(x) 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上页
一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在区间上连续如果对I上任意两 上点x,x,恒有互+3)< f(x1)+f(x2) 2),那末称 2 2 f(x)在I上的图形是(向上)的(或凹弧); 如果恒有/(+x1/(5)+(x)那末称/ 2 2 在Ⅰ上的图形是(向上)凸的(或凸弧) 如果(x)在a2b内连续且在(a,b内的图形是凹 (或凸的那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸的; 上页
定义 在 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）． 如果恒有 那末称 在 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） 点 恒 有 那末称 设 在区间 上连续 如果对 上任意两 I f x x x f x f x f f x I x x f x f x x x f f x I I , ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或 凸的 那末称 在 内的图形是凹或 凸的 如 果 在 内连续 且 在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
王二、曲线凹凸的判定 y=fxv B y=f(x)B :::::: 0a b x b x ∫(x)递增y>0 f(x)递减y"<0 王定理1如果f(x)在1上连续在(b内具有 阶和二阶导数若在(a,b)内 牛0m()>0则(在创上的图形是凹的 (2)f"(x)<0,则f(x)在a,b上的图形是凸的 上页 圆
二、曲线凹凸的判定 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 一阶和二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
庄例判断曲线y=x的四凸性 解∵y'=3x2,y"=6x, 当x<0时,y"<0, 曲线在(∞,0为凸的; 当x>Q时,y">0,∴曲线在[0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 上页
例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点