例2求(I+e)y'=e满足yl=0的特解 解方程属于可分离变量的微分方程分离变量，可得 ydy=- +e 积盼： 所以通解为 In()Ca Cla'(. 再由yl=1,得 0=lh2+lnC,即c= 2 故所求特解为 y21Ite' -=In- 2 2
例 2 求(1 e ) ' e x x + = yy 满足 0 | 0 x y = = 的特解. 解 方程属于可分离变量的微分方程. 分离变量, 可得 e d d 1 e x x y y x = + , 积分: e d d 1 e x x y y x = + , 所以通解为 2 ln(1 e ) ln ln (1 e ) 2 y x x = + + = + C C . 再由 0 | 1 x y = = , 得 0 ln2 ln = + C , 即 1 2 C = . 故所求特解为 2 1 e ln 2 2 x y + =
例3求方程x(1+y2)dx-y(1+x2)dy=0的通解. 解分离变堡1+=1中d 两端积分可1+d 2m1+)=1++nc ln(1+y2)=lnC(1+x2) ∴.1+y2=C1+x2)为方程的通解. 隐式通解
例3 求方程 (1 )d (1 )d 0 的通解. 2 2 x + y x − y + x y = 解 分离变量 x x x y y y d 1 d 1 2 2 + = + 两端积分 = + y y y d 1 2 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 2 1 2 2 + y = + x ln(1 ) ln (1 ) 2 2 + y = C + x 1 (1 ) 2 2 + y = C + x 为方程的通解. lnC 2 1 + 隐式通解 + x x x d 1 2
求方程y'=ylny的通解 解 , idoy=-可kae InIn y Inx+InC =InCx Iny=Cx 通解为y=eax
解 x x y y y d 1 d ln 1 = = x x y y d 1 dln ln 1 lnln y = ln x + lnC = lnCx ln y = Cx Cx 通解为 y = e 求方程xy y y = ln 的通解
二、齐次方程 1定义形如血=（占的微分方程称为齐次方程。 dx 例如：（y-y2)=(x2-2y)d y-心2 可化为： 迎=y-y2 dx x2-2xy 即： 1-2) dx 2.解法 作变量代换u=y,即y=xm, 义=u+ du
二、齐次方程 2 2 例如： ( ) ( 2 ) xy y dx x xy dy − = − 2 2 2 dy xy y dx x xy − = − 可化为： ( ) dy y dx x 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , y u x 作变量代换 = 即 y xu = , , dy du u x dx dx = + 1.定义 2 ( ) 1 2( ) y y dy x x dx y x − = − 即：