定积分的分都积分法 一、分部积分公式 定积分也可以象不定积分一样进行分部积分， 设函数u(x)、v(x)在区间a,b]上具有连续导数，则 有dw=[uv时-da. 定积分的分部积分公式 推导(ar=y+以，心ay=u可， [uvl=∫t'c+∫uv'idk, i.fudv=[avvda
定积分也可以象不定积分一样进行分部积分， 设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，则 有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b a uv u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 定积分的分部积分法 一、分部积分公式
例1计算 ∫aresin xx. 解令u=arcsin七，dy=d, 则du= V1-x2,v=, fareins arcn 君+就-)
解 arcsin . 2 1 0 xdx 令 u = arcsin x, dv = dx, 则 , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 例1 计算
例2计算 1+w2 x 解 1+c0s2x=2c0s2K, -+流=流-a划 =cany月-an 5恤sc时明-g-2
1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − = 例2 计算 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 解
例3计算 解 x=-1*3+ =-[n"+]+2+n1+刘 In2 +2 1 1 1+x2+x =-n2+n(1+x)-lm(2+xj = 3 5n2-ln3
例3 计算 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x 解 + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
4设fx)=in,求k、 解因为sin没有初等形式的原函数， 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 (dx) =2rf- =f四-2fww
例 4 设 = 求 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 解 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x dx