第六章定积分应用
第六章 定积分应用
上一章，已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。 重点 微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用
上一章，已经系统地介绍了定积分的基本 理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。 重点 微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用
难点微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。 基车要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题
微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。 基本要求 ①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。 ③会求旋转体的体积 ④ 会求平面曲线的弧长 ⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。 难点
第一节定积分的微元法 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程)的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积 分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的。 第一节 定积分的微元法
设量U非均匀地分布[a,b]上求U的步骤 分用分点4=X<X1<<Xn<Xn=b将 区间分成n个小区间[x-x,代，=x:-x 粗 把U在小区间上的局部量4U 用某个函数f(x)在5(5：∈[x-1,x) 的值与：，之积代替U:≈f(5)x: 和把局部量的近似值累加得到总量 的近似值 即 U=∑4U,≈∑f5)x i=
求Ｕ的步骤 分 用分点 a x x x x b n n = = 0 1 −1 将 区间分成n个小区间 1 1 [ , ], i− i i = i − i− x x x x x 粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui 用某个函数 f ( x) 在 ( [ , ]) i i i 1 i x x − 的值与 xi 之积代替 i i i U f ( )x 和 把局部量的近似值累加得到总量 的近似值 即 = = = n i i i n i i U U f x 1 1 ( ) 设量Ｕ非均匀地分布[ a ,b ]上