反常积分 在前面所讨时论的定积分事实上是有条件 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分一无穷限积分，无界函 数在有限区间上的积分—无界函数积分或瑕 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分
反常积分 在前面所讨论的定积分事实上是有条件 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分——无穷限积分，无界函 数在有限区间上的积分——无界函数积分或瑕 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分
一、无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间a,+o)上连续，取 b>a,如果极限imf(x)c存在，则称此极 b+00 限为函数f(x)在无穷区间[M,+oo)上的广义积 分，记作f(x)c. [f(x)dx =im ["f(x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分
类似地，设函数f(x)在区间(-0，b]上连续，取 a<b,如果极限imf(x)存在，则称此极 限为函数f(x)在无穷区间(-o∞，b]上的广义积 分，记作”nf(x)dc. ∫fx)k=lim f(x) 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a b，如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间(-0，+0)上连续，如果 广义积分f(x)和f(x)都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (-o,+o)上的广义积分，记作nf(x). -limdx+iyd 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx . →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
例1计算广义积分 -∞1+x2 解 = d + dx )1+x =▣+典14 6to01+2 -lim[aretanim arctanx →-∞ b)+00 2计算广义积分 解 sin -d
. 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − − 例2 计算广义积分 . 1 sin 1 2 2 + dx x x 解 + 2 1 sin 1 2 dx x x + = − 2 1 1 sin x d x 例1 计算广义积分