定积分的性质 一、基本内容 对定积分的补充规定： (1)当a=b时，∫f(x)dc=0: (2)当a>b时，f(x)k=-f(x)d. 说明在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当a b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 定积分的性质 一、基本内容
性质1 ∫fx)±g(x)=∫f(x)c±∫g(x)d. 证f(x)±g(x)=lim∑Lf(5)±g(5:)l△x 九-→0 i=1 =lim∑f(5)△x,±im∑g(5,)Ac, 0 九→0 i=1 =∫f(x)±g(x)k. (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) j2em-2jfxa
b a [ f (x) g(x)]dx= b a f (x)dx b a g(x)dx . 证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 = = = b a n i b a i n i f i x dx f x dx 1 1 [ ( )] ( )
性质2 ∫f(x)d&=kfx) (k为常数)， 证 kf(x)dk=lim∑f(传)△x, 元0=1 =mk空f5A,=km2f传，)Ax 九-→0 i=1 -k["f(x)dx. 性质1+性质2 得：
性质2 = b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质1+性质2 得：
[I()+ig(xdx -2对ee+etea 推广： fxds b a i=l i= 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质
+ b a [f (x) g(x)]dx = + b a b a f (x)dx g(x)dx 推广： = = = b a n i n i b a ki f i x dx ki f i x dx 1 1 [ ( )] ( ) 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质
性质3 假设a<c<b )=+d. 补充：不论α，b,c的相对位置如何，上式总成立 例若a<b<c, (df()(d 则f)k=f)-fxw)d -[f(x)dx+"f(x)dx. (定积分对于积分区间具有可加性)
假设a c b b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx b a 则 f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3