证由定理条件,f(x)可展开为 Fourier级数。记∫(x)的 Fourier 系数为a和b,则有, f∫(x)dx=-[f(π)-f(-π)]=0, f∫(x) cos nxd x f(x)cos nx f(x)sin nxd x= nb n=1,2, f(x)sin ndx=-na n=1,2, 于是 f(x)~∑(- a. nsin nx+ b ncos nx)
证 由定理条件，f (x)可展开为 Fourier 级数。记 f (x)的 Fourier 系数为a b n和 n，则有， a0 = π π 1 ( )d π f x x − 1 [ (π) ( π)] 0 π = − − = f f ， an = π π 1 ( )cos d π f x nx x − π -π ( )cos π f x nx = + π π ( )sin d π n f x nx x − = nbn， n = 1,2, ， bn = π π 1 ( )sin d π f x nx x − = − nan， n = 1,2, 。 于是 f (x) ~ (− sin + cos ) = a n nx b n nx n n n 1
Fourier级数的逼近性质 定义16.3.1设S是一个定义了内积运算(,)的线性空间,取S 中的范数为 T是S一个n维子空间,记T的一组正交基为a1,923…、9n,即 T=span{,2,…9n}, 若对于x∈S,有 x=C+C2(2+…+Cnn∈T, X-x 使得 ‖x-xr|=minx-y, ∈T 则称x是x在T中的最佳平方逼近元素。 图16.3.1
Fourier 级数的逼近性质 定 义 16.3.1 设 S 是一个定义了内积运算( , )的线性空间，取S 中的范数为 = ( , ) ， T 是 S 一个n维子空间，记T 的一组正交基为 n , , , 1 2 ，即 1 2 span{ , , , } T = n ， 若对于 x S ，有 1 1 2 2 n n x T T = + + + c c c ， 使得 x − xT min = − y T x y ， 则称 xT 是 x 在T 中的最佳平方逼近元素。 x x − xT T xT 图 16.3.1