令x=c,有 0 ∑ cos nc+ -sin nc 两式相减并整理,即得到 Sin nx- sin nc cos nx+ cos nc F(x) f(1)-0dt= 2 ∑|an +6 sin nt)d
令 x = c ，有 = = + − + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − = − + + − = 1 sin sin cos cos n n n n nx nc b n nx nc a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t = = +
令x=c,有 0 ∑ cos nc+ -sin nc 两式相减并整理,即得到 ∑|an Sin nx- sin nc cos nx+ cos nc F(x) f(1)-0dt= 2 ∑∫(a,cosm+bsm)dr 定理16.3.2说明,只要f(x)可以展成 Fourier级数 f(x) ∑( a. cos nx+ b sin nx) n=1 哪怕这个级数并不表示f(x),甚至根本不收敛,它的逐项积分级数 也一定能收敛于f(x)的积分
定理 16.3.2 说明，只要 f (x)可以展成 Fourier 级数 f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 哪怕这个级数并不表示 f (x)，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数 也一定能收敛于 f (x)的积分。 令 x = c ，有 = = + − + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − = − + + − = 1 sin sin cos cos n n n n nx nc b n nx nc a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t = = +
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ 6. sin nx)是某个在[兀上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑收敛
从定 理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推 论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )是某个在[−π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= 1 收敛
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ 6. sin nx)是某个在[兀上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑收敛。 由推论16.3.1可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier级数的。比如三角级数∑mn,由 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier级数h发散,它不可能 Dirichlet判别法可知它是点点收敛的,但由于∑
由推论 16.3.1 可 知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数 =2 ln sin n n nx ，由 Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于 =2 ln 1 n n n 发散，它不可能 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 从定 理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推 论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )是某个在[−π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= 1 收敛
Fourier级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来, Fourier级数是不能逐项微分的,除非是加上特别的条件。 定理16.3.3( Fourier级数的逐项微分定理)设f(x)在[x上 连续, a f(x)+2(a, cos nx+b, sin nx), 2 f(-x)=f(x),且除了有限个点外f(x)可导。进一步假设f(x)在[xm上 可积或绝对可积(注意:f(x)在有限个点可能无定义,但这并不影 响其可积性)。则∫(x)的 Fourier级数可由∫(x)的 Fourier级数逐项微 分得到,即 /'(x)-d g+2d(a, cos mr+b, sin nx) n=lax ∑(- a nsin nx+b, n cosnx)
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来， Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。 定 理 16.3.3（Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f (x)在[−π,π]上 连续， f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， f f (− = π) (π) ，且除了有限个点外 f (x)可导。进一步假设 f (x)在[−π,π]上 可积或绝对可积（注意： f (x)在有限个点可能无定义，但这并不影 响其可积性）。则 f (x)的 Fourier 级数可由 f (x)的 Fourier 级数逐 项微 分得到，即 f (x) ~ 0 1 d d ( cos sin ) d 2 d n n n a a nx b nx x x = + + = = − + 1 ( sin cos ) n an n nx bn n nx