定积分 第五章 单变量函数的积分学 上述几个问题具有两个共同的基本特征： ()所求总量等于各小区间上的部分量之和； (2)所求部分量近似等于某常量与对应区间长度之乘积. 解决问题方法的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割 →近似→求和→取极限 (2)所求量的结构式相同 A=lim ∑f5)Ax,s=1im∑v(z)At:, 2→0 k=1 1→0 k= W=lim∑F(5A)△s: →0 k=1 6
6 定积分 第五章 单变量函数的积分学 上述几个问题具有两个共同的基本特征: (1)所求总量等于各小区间上的部分量之和; (2)所求部分量近似等于某常量与对应区间长度之乘积. 解决问题方法的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割 近似 求和 取极限 (2)所求量的结构式相同
定积分 第五章 单变量函数的积分学 定积分的定义 定义：设函数f(x)在[a,b]上有定义，对[a,b]的任意一个分割 T:a=0<X1<…<x-1<xn=b,记△xk=xk-Xk-1,k=1,2,…,n, IT列=max{△x}称为分割T的分割宽度.再在每个分割的区间上选 5∈[x-1,x],可得到Riemanna和S,(T)=∑f(5)△x: k=1 若实数I使得：ε>0,36>0，st.对任意满足T<δ的[a,b]的分 割T和任意气∈[xx]有立f(,)A,-<6,则称f四)在 k=1 [a,b]上((Riemann)可积，且积分值为I,记为I=∫心f(x)dx 即：fx)de1im∑f5)△x T→0 K= 7
7 定积分 第五章 单变量函数的积分学 称为分割 的分割宽度. 定积分的定义 定义: 设函数 在 上有定义，对 的任意一个分割 记 再在每个分割的区间上选 可得到Riemann和 若实数 使得: 对任意满足 的 的分 割 和任意 有 则称 在 上(Riemann)可积，且积分值为 ，记为 即：
定积分 第五章 单变量函数的积分学 积分上限 [a,b]称为积分区间 f(x)dx=lim ∑f(5)△x T→0 i=1 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 黎曼和 注 (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关，与极限过程中分割T和点5，的选取 方式无关 (2)在已知函数可积的前提下，可以选择特殊的分割T和点5来计算定积分， (3)积分的值与变元名字无关，即f()dx=∫。fudl=∫f)du 8
8 定积分 第五章 单变量函数的积分学 积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 黎 曼 和 (1) 定积分仅与被积函数及积分区间有关，与极限过程中分割 和点 的选取 注: 方式无关. (2) 在已知函数可积的前提下，可以选择特殊的分割 和点 来计算定积分. (3) 积分的值与变元名字无关，即
定积分 第五章 单变量函数的积分学 定积分的几何意义： f(x)>0,∫2f(x)d=A 曲边梯形面积 fx)<0,∫f)dr=-A 曲边梯形面积的负值 y A2 b x ∫f)dx=4-+4-A4+4 =X轴上方图形与下方图形面积的代数和. 9
9 定积分 第五章 单变量函数的积分学 定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 = X轴上方图形与下方图形面积的代数和
定积分 第五章 单变量函数的积分学 问题：什么样的函数Riemann可积，怎么计算定积分？ 定理：若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界 反之，有界未必可积，例如Dirichlet函数不可积. 定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积， 甚至，若f(x)在[a,b]上有界，且至多只有有限多个间断点，则 f(x)在[a,b]上可积 定理：若函数f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积 定理(Lebegue):有界函数f(x)在[a,b]上可积，当且仅当f(x) 在[a,b]上几乎处处连续 10
10 定积分 第五章 单变量函数的积分学 问题: 什么样的函数Riemann可积，怎么计算定积分？ 定理: 若函数 在 上可积，则 在 上有界. 反之，有界未必可积，例如Dirichlet函数不可积. 定理: 若函数 在 上连续，则 在 上可积. 甚至，若 在 上有界，且至多只有有限多个间断点，则 在 上可积. 定理: 若函数 在 上单调，则 在 上可积. 定理(Lebegue): 有界函数 在 上可积，当且仅当 在 上几乎处处连续