3单侧连续 若函数f(x)在(a,x内有定义,且f(x0-0)=f(x0) 则称f(x)在点x处左连续; 若函数f(x)在[x0,b内有定义,且f(x0+0)=f(x0) 则称f(x)在点xa处右连续 工工工 定理函数f(x)在x0处连续兮→是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续 上页
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x
x+2,x≥0 例讨论函数∫(x)=1x-2,x<0,在x=0处的 连续性 解li f(x)=im(x+2)=2=f(0), x→0 lim f(x)=lim(x-2)=-2*f(O), x→0 x→0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续 上页
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b内连续,并且在左端点 午x=a处右连续,在右端点x=b处左连续则称 工工工 函数f(x)在闭区间[a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理函数在区间(+)内是连续的 上页
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的
生侧证明函数如x在区间(+内连续 证任取 x∈(-∞,+o) △ △ Ay=sin(x+△x)-inx=2sin·cos(x+) 2 △v cos(x+m) 2)≤1, 则△ys2sin 42 对任意的a,当a≠0时,有sinα<a, 故y≤2sin,<△x,:当△x→Q时,Ay→0 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+∞)都是连续的 上页 圆
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
三、函数的间断点 上函数f(x在点x处连续必须满足的三个条件: (1)∫(x)在点x0处有定义 (2)limf(x)存在; x→>x0 (3)lim f(x)=f(ro) x→>x0 牛如果上述三个条件中要有一个不满足则称 函数f(x)在点x处不连续(或间断,并称点x为 f(x)的不连续点或间断点 上页
二、函数的间断点 ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 称 f x f x x x