电动力学讲稿●第二章静电场P (cos0)=1P(cosO) = cosOP (cosO) ==(3cos29-1)2P(cosO)==(5cos*0-3cos0)1Ex.1 (P.64)球对称性高于轴对称性，及具有球对称的系统一定是轴对称的，所以形如（3）式的解对于本Q题仍然适用，又由于系统具有球对称性，所以电P2势应该与0无关，有n=0R所以b(R>R,)(4)R3?p,=a+Rd(5)(R >R>R)P2=C+R根据题意，内部导体球接地，所以2l, =0由（5）式有d=0(6)c+R,又，导体壳是个等势体，所以(7)P2=PR由（4）和（5）式，有bd(8)c+=a+R,"R.现选择高斯面，使其正好包含球壳（注意：如果只选择靠近球壳内表面的球面作为高斯面，则高斯面中还包含了“地”，由于“地”和球壳内导体球存在电荷交换，所以高斯面内的电荷不能确定，一般情况，所选择的高斯面不要包含无穷远），则有fE.ds-8011
电动力学讲稿●第二章 静电场 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = = . (5cos 3cos ) 2 1 (cos ) (3cos 1) 2 1 (cos ) (cos ) cos (cos ) 1 2 3 2 2 1 0 θ θ θ θ θ θ θ θ P P P P Ex. 1 （P. 64） 球对称性高于轴对称性，及具有球对称的系 统一定是轴对称的，所以形如（3）式的解对于本 题仍然适用，又由于系统具有球对称性，所以电 势应该与θ 无关，有 n = 0 所以 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + > > = + > ( ) (5) ( ) (4) 2 2 1 1 3 R R R R d c R R R b a ϕ ϕ 根据题意，内部导体球接地，所以 0 1 2 = R ϕ 由（5）式有 0 1 + = R d c （6） 又，导体壳是个等势体，所以 2 3 2 R 1 R ϕ = ϕ (7) 由（4）和（5）式，有 2 R3 b a R d c + = + （8） 现选择高斯面，使其正好包含球壳（注意：如果只选择靠近球壳内表面的球面作为高斯面， 则高斯面中还包含了“地”，由于“地”和球壳内导体球存在电荷交换，所以高斯面内的电 荷不能确定，一般情况，所选择的高斯面不要包含无穷远），则有 0 ε Q E ⋅ dS = ∫∫ G G
电动力学讲稿·第二章静电场HE.as--$vp2-ds-fvprdsRR2s0p2ds -1o0-dsaRRORD$0P2 R'd2 -PRdORROR利用（4）和（5）式，有FE-d =-4nd +4rb= 60gb-d=(9)4元60又，无穷远处电势为零，由（4）式，有a=0(10)有（7)、（8）、（9）和（10）式可解出待定系数a，b，c和d[a=0g19b4元84元891-4元80R91d4元80R;l其中9,=Q。R-R+R-电势的解为Q+9(R>R,)Pr =4元8R9 (11(R,>R>R)P2:4元。RR现求解导体球上的感应电荷，选择紧紧包裹导体球的球面为高斯面，设感应电荷为O°，有2- fE ds --fvo ds --fo ds =-fQ+RdQ =..-RORAOR60R60R所以感应电荷为Q'=Q1Ex.2 (P.66)12
电动力学讲稿●第二章 静电场 12 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ Ω ∂ ∂ Ω − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⋅ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 R R R R R R R d R R d R dS R dS R E dS dS dS ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ G G G G 利用（4）和（5）式，有 0 4 4 ε π π Q E ⋅ dS = − d + b = ∫∫ G G 4πε 0 Q b − d = （9） 又，无穷远处电势为零，由（4）式，有 a = 0 （10） 有（7）、（8）、（9）和（10）式可解出待定系数 a ，b ，c 和 d ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + = 0 1 0 1 1 0 1 0 4 4 4 4 0 πε πε πε πε Q d R Q c Q Q b a 其中 Q R R R R Q 1 3 1 2 1 1 1 3 1 − − − − − + = − 。 电势的解为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − > + = ( ) 1 1 4 ( ) 4 2 1 0 1 1 2 3 0 1 1 R R R R R Q R R R Q Q πε ϕ πε ϕ 现求解导体球上的感应电荷，选择紧紧包裹导体球的球面为高斯面，设感应电荷为Q'， 有 ∫ ∫ ∫ ∫ Ω = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ⋅ = − ∇ ⋅ = − 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 ' R R R R Q R d R dS R E dS dS Q ε ϕ ϕ ϕ ε G G G 所以感应电荷为 1 Q'= Q 。 Ex. 2（P. 66）
电动力学讲稿●第二章静电场介质球内外均无自由电荷，都满足Laplace方Eo程，由于系统具有轴对称性，所以a,R"+_bhP(cos?)(R>R)P,=R+Id., (cos0)c,R"(R<Ro)P2 =现分析边界条件。R1）尽管介质球在外电场作用下会极化，介质球表面会出现极化电荷，但极化电荷是有限的，这些极化电荷仅影响有限区域的电场，对无穷远处的电场无影响（有限大小的电荷在无穷远处激发的电场的电势为零）。所以，在加入介质球后，在无穷远处的电势和没有加入介质球时是相同的。所以，当R→8时P=-E.Rcosa（零势点选择在R=0处）由此可得[a, =-E.(11)(n ± 1)a,=02）在R=0处，P,是有限的（应为极化电荷分布在介质球表面），所以d,=0根据以上结果，有-EgRcosO+EbaP, (cos0)P,=RI+I(12)P2 =Zc,R"P,(cose)3）在介质球表面（R=R）处，电势满足[9,=P2001=0ap260onOn带入（12）式，得6E.RP+Z=Ec,R'PRR+I(13)(n+1)ba P,=-Znc,Ra"P,8E.P-6)Ra+2注意到，勒让德函数P是相互正交独立的函数，所以对于不同的n值，他们前面的系数在13
电动力学讲稿●第二章 静电场 13 介质球内外均无自由电荷，都满足 Laplace 方 程，由于系统具有轴对称性，所以 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∑ ∑ + + n n n n n n n n n n n n P R R R d c R P R R R b a R cos ( ) cos ( ) 2 1 0 1 1 0 ϕ θ ϕ θ 现分析边界条件。 1）尽管介质球在外电场作用下会极化，介质球表 面会出现极化电荷，但极化电荷是有限的，这些极 化电荷仅影响有限区域的电场，对无穷远处的电场 无影响（有限大小的电荷在无穷远处激发的电场的 电势为零）。所以，在加入介质球后，在无穷远处的电势和没有加入介质球时是相同的。所 以，当 R → ∞ 时 ϕ1 = −E0Rcosθ （零势点选择在 R = 0处） 由此可得 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = − 0 1 1 0 a n a E n （11） 2）在 R = 0处，ϕ 2 是有限的（应为极化电荷分布在介质球表面），所以 dn = 0 根据以上结果，有 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + ∑ ∑ + n n n n n n n n c R P P R b E R ϕ θ ϕ θ θ cos cos cos 2 1 0 1 （12） 3）在介质球表面（ R = R0 ）处，电势满足 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ = ∂ ∂ = n n 1 2 0 1 2 ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 带入（12）式，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − − − + = ∑ ∑ ∑ ∑ − + + n n n n n n n n n n n n n n n n P nc R P R n b E P P c R P R b E R P 1 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ( 1) ε ε ε (13) 注意到，勒让德函数 Pn 是相互正交独立的函数，所以对于不同的 n 值，他们前面的系数在