《电动力学》课程授课教案（讲稿）第二章 静电场

电动力学讲稿●第二章静电场令=p-p"，在每个均勺分区V内，p"和p"满足Poisson方程所以在每个均匀分区V，β满足方程V"=0(1)在两均匀介质分区的分界面上，β和"分别满足边值关系[0,=p',β"=p"(ap)(0p')ap=62annanan故对于，亦有边值关系0, =(β)(2)对第1个均匀介质分区，运用高斯定理，有e,.ds= [.(,)d= [s,() dv+ [e,dv = [e,()dvVVSVV对所有分区V求和，有Efe,pp ds -Z[e,(vo) dv(3)iyS对于上式左端的积分，在分界面两边，有ds, =-ds,由此，在内部分界面上的积分为0说明：所满足的边值关系也可表为：1）,=，2)s,(Vpn),=,(V.n)，（根据dp=Vo·di，考虑沿n方向的微分，有do=Vo·dn，所以=on，所以在on内表面上的积分为0。#Efepo.ds =fe,op.ds(4)s在整个V区域的表面S上，1）若给定外表面S上的电势，则pls =ps-"s = 06

电动力学讲稿●第二章 静电场 6 令ϕ = ϕ'−ϕ"，在每个均匀分区Vi 内，ϕ'和ϕ"满足 Poisson 方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ = − ∇ = − i i ε ρ ϕ ε ρ ϕ " ' 2 2 所以在每个均匀分区Vi ，ϕ 满足方程 0 2 ∇ ϕ = （1） 在两均匀介质分区的分界面上，ϕ'和ϕ"分别满足边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ' ' ' ' ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 和 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n " " " " ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 故对于ϕ ，亦有边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ （2） 对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有 ( ) ( ) () ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ + ∇ = ∇ i i i V V i i i i V i V i S i ds dV dV dV dV 2 2 2 ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ϕε ϕ ε ϕ K 对所有分区Vi 求和，有 ∑ ( ) ∑∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ i V i i S i i i ds dV 2 ε ϕ ϕ ε ϕ K （3） 对于上式左端的积分，在分界面两边，有 i j ds ds K K = − 由此，在内部分界面上的积分为 0 说明：ϕ 所满足的边值关系也可表为：1）ϕ i = ϕ j 2) ( )( ) i i j j n n K K ε ∇ϕ ⋅ = ε ∇ϕ ⋅ （根据 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，考虑沿 n K 方向的微分，有 d dn K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，所以 n n K = ∇ ⋅ ∂ ∂ ϕ ϕ ，所以在 内表面上的积分为 0。 # ∑∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ S i i S i ds dS i G K ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ （4） 在整个V 区域的表面 S 上， 1）若给定外表面 S 上的电势，则 = ' − " = 0 ϕ S ϕ S ϕ S

电动力学讲稿●第二章静电场2）若给定外表面处沿法线的方向微商，则apl0plap"=0onsansonls对于上述两种情形中的任意一种，由（4）式，（3）式左端积分为0，所以Z[s,(Vo) dV=0Ti注意到&,>0，上式要成立，必有V=0，即p'-p"= const.电势的附加常量对电场没有影响，所以电场是唯一确定的。二、有导体存在时的唯一性定理两类边界条件：第一类，给定导体表面上的或导体上的电势9：On第二类，给定每个导体上的总电荷9，。对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。ap卫给定；每对于第二类边界条件：在导体外，P分布给定：大区域表面S上的β或On个导体上的总电荷Q,给定。证明：先对导体进行分析：对于第i个导体，选择（紧紧）包裹该导体的封闭曲面S.为高斯面（画图），运用高斯定理，有fE.ds_（c为导体i外的电容率）8s,所以fvp.ds-2i8foe ds=2(5)SS an6V注意：n的方向规定为由导体内部指向外部：在导体表面电势是常数，各点电势相等，但其方向导数各点一般是不同的（举例：非球对称的导体）。以下开始证明（反证法）：设有两个不同的电势，@"，在导体外，他们均满足7

电动力学讲稿●第二章 静电场 7 2）若给定外表面处沿法线的方向微商，则 0 ' " = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ n S n S n S ϕ ϕ ϕ 对于上述两种情形中的任意一种，由（4）式，（3）式左端积分为 0，所以 ( ) 0 2 ∑ ∇ = ∫ i V i i ε ϕ dV 注意到ε i > 0 ，上式要成立，必有∇ϕ = 0 ，即 ϕ'−ϕ"= const. 电势的附加常量对电场没有影响，所以电场是唯一确定的。 二、 有导体存在时的唯一性定理 两类边界条件：第一类，给定导体表面上的 n i ∂ ∂ϕ 或导体上的电势ϕ i ； 第二类，给定每个导体上的总电荷Qi 。 对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。 对于第二类边界条件：在导体外， ρ 分布给定；大区域表面 S 上的ϕ 或 ∂n ∂ϕ 给定；每 个导体上的总电荷Qi 给定。 证明：先对导体进行分析： 对于第i 个导体，选择（紧紧）包裹该导体的封闭曲面 Si 为高斯面（画图），运用高斯 定理，有 ε i S Q E dS i ⋅ = ∫ G G （ε 为导体i 外的电容率） 所以 ε ϕ i S Q dS i − ∇ ⋅ = ∫ G ε ϕ i S Q dS n i = ∂ ∂ − ∫ （5） 注意： n G 的方向规定为由导体内部指向外部；在导体表面， 电势是常数，各点电势相等，但其方向导数各点一般是不同 的（举例：非球对称的导体）。 以下开始证明（反证法）： 设有两个不同的电势ϕ'，ϕ"，在导体外，他们均满足

电动力学讲稿●第二章静电场方程Φ=p'-p"则Φ=0(6)又，由于给定每个导体所带总电荷，@和"均满足（5）式，fds=2son6f00ds-son8在上式中，S,的法线方向由导体内指向导体外。所以rodS=0(7)son对于扣除导体的空间体积V积分，运用（数学上的）高斯定理，并利用（6）式，有(o)-ds = [.()dv = [(v) d + [o?d = [(vo) dv(8)注意到导体表面电势是常数，所以d。=const.分析（8）式左端积分，积分曲面为V"的表面，其中包含导体表面。对于第i个导体（其表面设为S，），有f(o) s = -fod-.ds =Φl..ds=0onJons,SS.上面利用了（7）式。由（8）式[(vΦ)"dv = 0由此V@=0?和"最多只能相差一个常数，电场唯一确定。Ex. (P.62)nx(E, -E,)=0由边值关系=E2,=EuD2, =Dinn (D, - D,)= G猜出（2.18）式，注意它满足导体为等势体的条件（E沿方向，与表面垂直）8

电动力学讲稿●第二章 静电场 8 方程 ε ρ ∇ ϕ = − 2 ，令 Φ = ϕ'−ϕ" 则 0 2 ∇ Φ = （6） 又，由于给定每个导体所带总电荷，ϕ'和ϕ"均满足（5）式， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∫ ∫ ε ϕ ε ϕ i S i S Q dS n Q dS n i i " ' 在上式中， Si 的法线方向由导体内指向导体外。所以 = 0 ∂ ∂Φ ∫ i S dS n （7） 对于扣除导体的空间体积V ' 积分，运用（数学上的）高斯定理，并利用（6）式，有 ∫ Φ∇Φ ⋅ = ∫∇ ⋅ Φ∇Φ = ∫ ∇Φ + ∫Φ∇ Φ = ∫ ∇Φ ' 2 ' 2 ' 2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V dS dV dV dV dV G （8） 注意到导体表面电势是常数，所以 const. Si Φ = 分析（8）式左端积分，积分曲面为V ' 的表面，其中包含导体表面。对于第i 个导体（其表 面设为 Si ），有 ∫ ∫ ∫ ⋅ = ∂ ∂Φ ⋅ = Φ ∂ ∂Φ Φ∇Φ ⋅ = − Φ i i i i S S S S dS n dS n ( ) dS 0 G G G 上面利用了（7）式。由（8）式 ( ) 0 ' 2 ∇Φ = ∫ V dV 由此 ∇Φ = 0 ϕ'和ϕ"最多只能相差一个常数，电场唯一确定。 Ex.（P. 62） 由边值关系 ( ) ⎪ ( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − = × − = 2 1 σ 2 1 0 n D D n E E K K K K K K ⇒ E2t = E1t D2n = D1n 猜出（2.18）式，注意它满足导体为等势体的条件（ E K 沿 r K 方向，与表面垂直）

电动力学讲稿●第二章静电场要求满足总电荷的条件（2.19）式= EI,E2,DI,D,9

电动力学讲稿●第二章 静电场 9 要求满足总电荷的条件（2.19）式 ⇒ 1 2 1 2 E , E , D , D K K K K

电动力学讲稿●第二章静电场$3.拉普拉斯方程分离变量法对于静电场问题，电荷带往往分布在有限空间，在很多情况下，需考察的空间内没有电荷分布，分布在有限空间的电荷激发了整个空间的电场。如果在考察的空间内没有电荷分布，则电势满足Laplase方程Vβ=0(1)在数学上，Laplace方程可以用分离变量法求解。先将方程写为球坐标下（θ为极角，Φ为方位角）的形式：101ar00)1a(200)V0=singr? ar(ar)rsingol0ersin000?（根据数理方法）该方程可以用分离变量法求解，其解为：E(amR"+bm)p(R,0,g)=Ppm(cos0)cosm§R+Jnm(n,m=0,1,2,...)2(cmR"+)P"(cos0)sinmgR(2)P"(cosの)为缔合勒让德（Legendre）函数。该方程有（一系列）待定系数n和m的取值范围及各个n和m取值对应的am、bmm、Cmm和dm，不管他们如何取值，（2）式的解均满足方程（1)，即Laplace方程的有一系列的解。但是并非所有的解都能满足电势的边界条件，我们的任务就是找出（2）中满足边界条件的解。上述求解电势的问题就归结为，根据边界条件（包含界面上处的边值关系）定出（2）式中的待定系数amm，bm，Cmm和dmm。如果系统具有对称性，（2）式的形式可以进一步化简。轴对称情形：若系统具有轴对称性（即系统具有绕对称轴的不可区分性），取对称轴为球坐标极轴Z，电势@应该绕Z轴旋转不变，在（2）式中应该有m=0，所以(R 0-2(aR+)(o)(3)P,(cosの)为勒让德函数。勒让德函数表达式（P.349）10

电动力学讲稿●第二章 静电场 10 §3. 拉普拉斯方程 分离变量法 对于静电场问题，电荷带往往分布在有限空间，在很多情况下，需考察的空间内没有电 荷分布，分布在有限空间的电荷激发了整个空间的电场。如果在考察的空间内没有电荷分布， 则电势满足 Laplase 方程 0 2 ∇ ϕ = （1） 在数学上，Laplace 方程可以用分离变量法求解。先将方程写为球坐标下（θ 为极角，φ 为方位角）的形式： 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 φ ϕ θ θ ϕ θ θ θ ϕ ϕ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = r r r r r r （根据数理方法）该方程可以用分离变量法求解，其解为： ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + n m m n n n nm nm n m m n n n nm nm P m R d C R P m R b R a R , 1 , 1 cos sin , , cos cos θ φ ϕ θ φ θ φ (n , m ＝0, 1, 2, .) （2） ( ) cosθ m Pn 为缔合勒让德（Legendre）函数。该方程有（一系列）待定系数n 和 m 的取值范 围及各个 n 和 m 取值对应的 anm 、bnm 、 nm c 和 dnm ，不管他们如何取值，（2）式的解均满 足方程（1），即 Laplace 方程的有一系列的解。但是并非所有的解都能满足电势的边界条件， 我们的任务就是找出（2）中满足边界条件的解。上述求解电势的问题就归结为，根据边界 条件（包含界面上处的边值关系）定出（2）式中的待定系数anm ，bnm ， nm c 和 dnm 。 如果系统具有对称性，（2）式的形式可以进一步化简。 轴对称情形： 若系统具有轴对称性（即系统具有绕对称轴的不可区分性），取对称轴为球坐标极轴 Z ， 电势φ 应该绕 Z 轴旋转不变，在（2）式中应该有 m = 0 ，所以 ( ) ∑ ⎟ ( ) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n n n n P R b ϕ R,θ a R cosθ 1 （3） Pn ( ) cosθ 为勒让德函数。 勒让德函数表达式（P. 349）