极限思想的萌芽《庄子.天下篇》：一尺之捶日取其半万世不竭11.x二X22842n截杖问题1122231>0182n2数列发现问题有固定的变化趋势2"所有的数列都有固定的变化趋势吗?提出问题：6
6 极限思想的萌芽 1 . 1 2 x 2 1 4 x 3 1 8 x 1 2 n n x 1 2 n 1 , 0 2 n n 截 杖 问 题 发现问题：数列 有固定的变化趋势. 1 2 n 提出问题：所有的数列都有固定的变化趋势吗？ 2 1 2 3 1 2
极限定义的产生极限的描述性定义：柯西(1789.8.-1857.5)当n无限增大时，如果数列x，的通项x无限接近于某一常数a，则称常数a为数列x，的极限或称数列x，收敛于a，记为limx, =an→0否则称数列(x)发散
7 极限定义的产生 柯西 （1789.8.-1857.5） 当n无限增大时, 如果数列{xn}的通项xn lim n n x a 否则称数列{xn}发散。 极限的描述性定义： 无限接近于某一常数a, 则称常数a为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛于a, 记为
数列极限的定义（极限）拉丁文limis英文limit(极限)读音lim果aX=nn8因思考问题1)“无限趋近”意味着什么？2)“无限趋近”之间的关系？如何定量地描述两个X
8 数列极限的定义 拉丁文limis（极限） 英文limit(极限) 读音 lim n n x a 因 果 思考问题： 1）“无限趋近”意味着什么？ 2）如何定量地描述两个“无限趋近”之间的关系?
1“无限趋近”lim== 0实例分析n-o n<8n-a=二1)二任意小无限趋近：随着n的无限增大，rn2）取任意小只要n>10即可。10103)取任意小为8,x,-=二<,只要n>二即可8n“无限增大”静态符号刻画动N=[-],n>N态的无限趋近！89
9 1 lim 0 n n 实例分析 1 n , xn a = n 1）无限趋近：随着 的无限增大 任意小 1 1 1 , 10 . 10 10 n x a n n 2）取任意小 ， 只要 即可 1 1 , . n x a n n 3)取任意小为 ， 只要 即可 1 nx a ε n “无限趋近” 1 N [ ],n N 静态符号刻画动 “无限增大” 态的无限趋近！
极限定义的发展WDueshrl极限的分析定义（ε-N）维尔斯特拉斯数列(x,}，若对任意ε>0，总存在正整数N,使得当n>N时，恒有x,-a<成立，则称a是数列(x的极限或称(xn收敛于a，记作：limx，=a否则称数列(x,发散n→AnyExistlimx,=a>0,日Nz,当n>时,恒有x,-a<n>010
10 极限定义的发展 极限的分析定义（ –N ）： 或称{xn}收敛于a， 数列{xn}, 若对任意 0 , 总存在正整数N,使得当 n>N时，恒有|xna|< 成立, 则称a是数列{xn}的极限， 否则称数列{xn lim n }发散。 n x a 记作: + lim 0, Z , , d n n n x a N n N x a 当 时 恒有 Any Exist 维尔斯特拉斯