老察质心位置侧移量 蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位,即满足低细节 描述 CM·sin(a-B)<MN Ra-B<rB R B b pKr B bR b b 碗的半径八6(1-)11-a R-b b b I-a-b
考察质心位置侧移量 蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位，即满足低细节 描述 C M MN − sin( ) < R r − ( ) < r R r b − < bR r R b − < 1 b b R = − 1 b b l a − − < 碗的半径 b l a ( ) a b r l − − − <
专题3问题2如图所示,杆长上+质心在C点杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡试问在图示位置 时,此杄的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡?并证明之 析:先研究三力杆平衡时的几何位置特点: 在△BOC中由正弦定理: b(a+b)sin Po ao B C b sina sin(90-a+Po) B cos(a-po sin po sin a b bcos a cos a cos +sin oo sina (a+b tango a sina SIn@o sin ac b cos a cos po a sin@. sin a b 证明
如图所示，杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位置 时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之. 专题3-问题2 先研究三力杆平衡时的几何位置特点: A B a b φ0 α C O 在△BOC中由正弦定理: ( ) ( ) 0 0 sin sin sin 90 b a b + = − + α ( 0 ) ( ) 0 cos sin sin a b b − + = ( ) 0 0 0 cos cos sin sin sin sin a b b + + = 0 0 cos cos sin sin a b = 0 cos s n tan i b a = 证明 FA FB G
证法一:老察质心位置的高度变化 扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 yi(a+b)cos p sin a-b. sin(a-) =a sin a cos bcos sin p bcos a √a2sin2a+bcos2a cospp+ SIn √a2sin2a+b2cos2a √a2sin2a+b2cos2a =Va a+bcos a cos -tan 1 bcos a)已有 asina 结论 va??sin2a+b2cos2a cos(p-Po) 当q=q时质心C的高度有最大值Jm=va2sina+b2cosa 受扰动后杆质心降低属不稳定平衡 续解
考察质心位置的高度变化 A B φ α C y 扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 时 y a b b = + − − ( ) cos sin sin ( ) = + a b sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos a b a b a b a b = + + + + 2 2 2 2 1 cos sin cos cos tan sin b a b a a − = + − 已有 结论 ( ) 2 2 2 2 0 = + − a b sin cos cos 当 = 0 时 质心C的高度有最大值 2 2 ax 2 2 y m = a b sin cos + 受扰动后杆质心降低,属 不稳定平衡 续解
证法二:老虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量 O 原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O 此时,重力对O的力矩为0 如示扰动后杆的瞬时转动中心为O 此时,x=(a+b)cos(q+a) x= a cos c1·c0so- bsin q·sin xx AIlx-x=b cos u cos a-asin P, sina va2sin'ab2 cosa. sin(P-P)<0 pi>o sin(po-po x<x 重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置! 不稳定平衡
考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量 φ0 α A B C O C 1 原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O 如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′ O x x 此时,重力对O的力矩为0 此时, x a b = + + ( ) cos( 1 ) 1 1 x a b = − cos cos sin sin 1 1 则x x b a − = − cos cos sin sin 1 0 > ( ) 2 2 2 2 0 1 = + − a b sin cos sin sin( 0 1 − ) < 0 < 0 重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置! 不稳定平衡 a b x x < 1
专题3-问题3如图所示,课桌面与水平面夹角成以,在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔,欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动.试求:(1)在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ.(2)铅笔的 轴与斜面母线(斜面与水平面的交线)应成多大的角度放置? 解 考虑不滑动 铅笔在斜面上恰不滑动,有 masino- ug cos a max μ=tana摩擦角恰为斜面倾角 若满足≥tana笔不会因滑动而破坏平衡! 考虑不滚动笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! 应满足a 3a cot a tan a ≥ cos 2 cos p 2 放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角p> cos Cota 低细节 笔不会因滚动而破坏平衡! 描述
如图所示，课桌面与水平面夹角成α，在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动．试求：⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的 轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？ 专题3-问题3 考虑不滑动 铅笔在斜面上恰不滑动,有 max mg f mg sin cos = = = tan 摩擦角恰为斜面倾角 α φ 若满足 tan 笔不会因滑动而破坏平衡! 考虑不滚动 低细节 描述 笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! 应满足 3 tan 2cos 2 a a cot cos 3 放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角 1 cot cos 3 − > 笔不会因滚动而破坏平衡!