江画工太猩院 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x1-6,x0),有f(x)>0而x∈(x,xn+6) 有∫(x)<0,则f(x)在x处取得极大值 (2)如果x∈(x-6,x),有f(x)<0而x∈(x,x1+), 有f(x)>0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x,x+)时,f(x) 符号相同则f(x)在x处无极值 (是极值点情形)
江西理工大学理学院 (1)如果 ( , ), x ∈ x0 − δ x0 有 ( ) 0; ' f x > 而 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ ， 有 ( ) 0 ' f x < ，则 f (x)在x0处取得极大值. (2)如果 ( , ), x ∈ x0 − δ x0 有 ( ) 0; ' f x < 而 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ ， 有 ( ) 0 ' f x > ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x ∈ x0 − δ x0 及 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ 时， ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)
江画工太猩院 不是极值点情形) 求极值的步骤: (1)求导数∫(x) (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查f(x)在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值
江西理工大学理学院 x y o x y o 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤: (1) 求导数 f ′(x); (2)求驻点，即方程 f ′(x) = 0的根; (3) 检查 f ′( x) 在驻点左右的正负号 ,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形)
江画工太猩院 例1求出函数∫(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解f(x)=3x2-6x-9=3(x+1(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x(-0,-1)-1(13)3(3,+∞) 极 f(x)/ 极大值 值 极大值∫(-1)=10,极小值∫(3)=-2
江西理工大学理学院 例1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f ′ x = x − x − 令 f ′(x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (−∞,−1) − 1 (−1,3) 3 (3,+∞) f ′(x) f (x) + 0 − 0 + 极大值 极小值 极大值 f (−1) = 10, 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)(x − 3)
江画工太猩院 f(x)=x3-3x2-9x+图形如下 -10
江西理工大学理学院 ( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下
江画工太猩院 定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数, 且f(x)=0,f(x)≠0,那末 (1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x处取得极大值 (2)当∫(x)>0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)∵:f"(x)=lim f(x0+△x)-f( <0 Ax-0 △v 故f(x+△x)-f(xn)与△x异号 当△x<0时,有f(xn+△x)>f(xn)=0, 当△x>时,有f(xn+△x)<f(x)=, 所以,函数∫(x)在x处取得极大值.同理可证(2)
江西理工大学理学院 设 f ( x ) 在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x ≠ , 那末 (1)当 ( ) 0 0 '' f x < 时, 函数 f ( x ) 在 0 x 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x > 时, 函数 f ( x ) 在 x 0处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 ( 1 ) x f x x f x f x x ∆ ′ + ∆ − ′ ′′ = ∆ → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q 0 < 0 , 故f ′( x 0 + ∆x ) − f ′( x 0 ) 与 ∆x异号， 当 ∆x < 0时， ( ) ( ) 0 0 有f ′ x + ∆x > f ′ x = 0 , 当 ∆x > 0时， ( ) ( ) 0 0 有f ′ x + ∆x < f ′ x = 0 , 所以，函数 f ( x ) 在 x 0处取得极大值．同理可证(2)