山东理工大学理学院备课纸 年月日 §2线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义， 例1在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以 按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性 质是可以通过向量的这两种运算来描述的， 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V的一个运算： 2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V到V的一个运算， 3°由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律」 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义1令V是一个非空集合，P是一个数域在集合V的元素之间定义了 种代数运算，叫做加法：这就是说给出了一个法则，对于V中任意两个向量 与B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为a与B的和，记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：这就是说， 对于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在V中都有唯一的一个元素6 与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为6=k.如果加法与数量乘法满足下 述规则，那么V称为数域P上的线性空间. 加法满足下面四条规则： 1)a+B=B+a: 2）(a+B)+y=a+(B+i 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以 按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性 质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量 与 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应,称为 与 的和,记为 = + . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说， 对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应,称为 k 与 的数量乘积,记为 = k .如果加法与数量乘法满足下 述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则: 1) + = + ； 2) ( + ) + = + ( + ) ； 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 3)在v中有一个元素0，a∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0称 为V的零元素)： 4)a∈V,3B∈V,sta+B=0(B称为a的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5)la=a; 6)k(la)=(kla 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7)(k+Da=ka+la; 8)k(a+B)=ka+kB: 在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α，B,y等表示集合V中任意元素 例3数域P上一元多项式环P],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于的多项式，再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[xl表示. 例4元素属于数域P的m×n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域P上的一个线性空间，用P表示 例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间， 例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有 + 0 = （具有这个性质的元素 0 称 为 V 的零元素）； 4) V, V,st + = 0 ( 称为 的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P x[ ] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 [ ] P x n 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间： 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法： aa=0.aeR.aeV. 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项 式的乘法 例8设V是正实数集，R为实数域.规定 a⊕B=B(即a与B的积)， a⊙a=a(即a的a次幂)， 其中a,B∈V,aeR.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要 广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y, 代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,.代表数域P中的数. 1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的. 3.0a=0k0=0.(-1)a=-a.4.如果ka=0,那么k=0或者a=0 本节主要问题是如何判断定义了加法和数乘的V是数域P上的线性空 间？ 练习：P273:3,4 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项 式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 = (即 与 的积), a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要 广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 , , , 代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c, 代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者 = 0. 本节主要问题是如何判断定义了加法和数乘的 V 是数域 P 上的线性空 间？ 练习：P273：3， 4 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §3维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5,6， 例1在线性空间P[xl中，1，x,x2,x是n个线性无关的向量 例：对于数城P米讲.上68888 889988889符号5 是线性无关的 二、下面我们讲新的内容 本节主要是两个问题 一是：如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 二是：求一个向量在某组基下的坐标 在一个线性空间中究竞最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的 个重要属性. 定义5如果在线性空间V中有个线性无关的向量，但是没有更多数日的 线性无关的向量，那么V就称为维的：如果在V中可以找到任意多个线性无关 的向量，那么V就称为无限维的. 第9
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5，6， 例1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n− x x x 是 n 个线性无关的向量 例 4：对于数域 P 来讲， 2 3 P 上 1 0 0 000 , 0 1 0 000 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 符号 Eij 是线性无关的 二、下面我们讲新的内容 本节主要是两个问题 一是：如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 二是：求一个向量在某组基下的坐标 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的 一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的 线性无关的向量，那么 V 就称为 n 维的；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关 的向量，那么 V 就称为无限维的. 第 9 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 a=a,61+a62+.+an5 其中系数a,4,a,是被向量a和基6,6，唯一确定的，这组数就称为a在 基s,5,5n下的坐标，记为(a,a,a). 定义6在n维线性空间y中，n个线性无关的向量6,52.，s称为y的一组 基.设α是V中任一向量，于是6,6，￡n,a线性相关，因此a可以被基6,62，.，￡ 线性表出： 由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数. 定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，a2,a,且V中任 向量都可以用它们线性表出，那么y是n维的，而a,a,a,就是y的一组基. 例1在线性空间P[xl中， 1X,x2,x 是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域P上的多项式都可以被它 们线性表出，所以Px是n维的，而1，x,x,x就是它的一组基。 例2在n维的空间P中，显然 6=(1,0,.0) 62=(0,1.,0, E。=(0,0,.) 是一组基.对于每一个向量a=(a,a,a,),都有 &=a61+a252+.+an6n 所以(a,a,a)就是向量a在这组基下的坐标 第10页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2 是被向量 和基 n , , , 1 2 唯一确定的，这组数就称为 在 基 n , , , 1 2 下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2 an . 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n , , , 1 2 称为 V 的一组 基.设 是 V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 可以被基 n , , , 1 2 线性表出： 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 n ,. , , 1 2 ，且 V 中任一 向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 n ,. , , 1 2 就是 V 的一组基. 例 1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n− x x x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以被它 们线性表出，所以 [ ] P x n 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n 是一组基.对于每一个向量 ( , , , ) = a1 a2 an ,都有 a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2 an 就是向量 在这组基下的坐标. 第 10 页