《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.4多元复合函数的求导法则

第四为 第九章 多元复合画数的求导法则 元复合函数 y=f(u),u=g(x) 求导法则 dy dy du dx du dx 微分法则 dy=f'(u)du=f'(u)o'(x)dx 本节内容： 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS 凯动目录上页下页返回结束

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章

一、多无复合函数求导的链式法则 定理1.若函数u=p(t),v=y(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),y(t)》 在点t可导，且有链式法侧 dz Oz du 0z dv dt Ou di av dt 证：设t取增量△t，则相应中间变量 有增量△u,△v, △z= 0z Au+ Bu Ar+o(p)(p=△)2+(A) v HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理1. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v

△z az△u,az△v,o(P) (p=(△)2+（△）2） △t dM△t a△t △t 令△t→0，则有△→0，△Y→0， △udu △vdw △t dt' △t dt △t +→0 (△t<0时根式前加”-号) dz 0z du Oz dv (全导数公式) dt ou dt'Ov dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=f(u,V,w), u=p(t),v=v(t),w=@(t) dz 0z du,Oz dv Oz dw dt Ou dt Ov dt Ow dt =0'+乃Ψ+乃⑩ 2)中间变量是多元函数的情形定理2， z=f(u,v),u=p(x,y),v=V(x,y) a正_a.au+三.0=m+f4 Ox Ou ax Bv 8x 8z 0z Ou,Oz Ov =p2+33 ay Ou ay Ov ay HIGH EDUCATION PRESS A0C①8 机动目录上页下页返回结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.定理2, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t)

定理3，z=f(x,V),V=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 8x Ox By Ox =+5] Ev Ov =f位2 注意： 这里 与不同， Ox of 表示固定v对x求导 8x 表示固定y对x求导 8x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理3, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束