中国矿大业CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGYRight.ThenallExcellentpoint!Wewill cometodiscuss this problemnexttime
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY When you start writing the program, you will find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial. Oh yeah? What if I find the current interpolation not accurate enough? Then you might want to take more interpolating points into account. Right. Then all the Lagrange basis, li (x ), will have to be re-calculated. Excellent point ! We will come to discuss this problem next time
中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY82牛顿插值公式Lagrange插值多项式的插值基函数为(n)=(r-x)j = 0,1,2,...,n(x, -x)1=0（j形式上太复杂，计算量很大，并且重复计算也很多。对n+1个互不相同的插值节点，可以证明n+1个多项式1,x-xo,(x-x)(x-x),...,(x-xo)(x-x)...(x-xn-)是n次多项式空间的一个基，这个基也可以表成：0(x)=1,0(x)=(x-x(x-x).(x- x-),i=1,2,,nNewton插值法就是取这组基作为插值基函数！
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY l ( x ) j ∏ ≠ = − − = n i j i j i i x x x x 0 ( ) ( ) j = 0 , 1 , 2 , " , n Lagrange插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂 ,计算量很大 ,并且重复计算也很多。 §2 牛顿插值公式 对n+1个互不相同的插值节点，可以证明n+1个多项式： 001 01 1 1, ,( )( ), ,( )( ) ( ) n xx xx xx xx xx xx −−− −− − " " − 是 n次多项式空间的一个基，这个基也可以表成： Newton插值法就是取这组基作为插值基函数！ 0 01 1 ( ) 1, ( ) ( )( ) ( ), 1, 2, , i i ω x x xx xx xx i n = =− − − = ω " " −
中国矿亚大警CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY设插值多项式P(x）具有如下形式P(x)= ao +ai(x - xo)+a2(x - xo)(x - x)+ ..+a,(x -xo)(x - xi)...(x- xn-1)P(x)应满足插值条件P(x)=f,i=0,1,,nαo = fo有 P(xo)= fo=aoq=l-P(xi)= fi =ao +a(x -xo)Xi -xoP(x2)= f2 = ao +ai(x2 - x)+α2(x2 -xo)(x2 - x1)f2-fo-f -fa,=±-0 x-xX2 -Xi
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 0 1 0 2 0 1 + − − − − = + − + − − + n n a x x x x x x P x a a x x a x x x x " " 设插值多项式 P ( x )具有如下形式 P ( x )应满足插值条件 P ( xi) = fi , i = 0 , 1 , " , n 0 0 0 有 P ( x ) = f = a ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 P x = f = a + a x − x 0 0 a = f 1 0 1 0 1 x x f f a − − = ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 P x = f = a + a x − x + a x − x x − x 2 1 1 0 1 0 2 0 2 0 2 x x x x f f x x f f a − − − − − − =
中国矿亚大鉴CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY一、差商及其基本性质1.定义1f(x)-f(xo)称f[x,x]=为函数f(x)在xx点的一阶差商。xi-xof[xo,x]-f[xo,x]称f[xo,x,x,]=为f()在xx,x点的X2 -xi二阶差商。一般地，n一1阶差商的差商[x,, x, = ,]- [,,X,-Xn-1称为函数f(x)在x，x,,x，点的n阶差商。如何简便的计算各阶差商呢
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 一、差商及其基本性质 1. 定义1 称 1 0 0 1 1 0 () () [,] f x f x fx x x x − = − 为函数 f (x ) 在 0 1 x x, 点的一阶差商 。 称 02 01 012 2 1 [,] [,] [,] fx x fx x fx x x x x − = − 为 f (x ) 在 012 xxx , , 点的 二阶差商 。 称为函数f (x )在 点的 xx x 0 1 , " n n阶差商 。 一般地， n － 1阶差商的差商 如何简便的计算各阶差商呢
2.差商的计算方法（差商表）：阶差商三阶差商四阶差商二阶差商f(x)Xkf(x)Xof[xo,x]f[x0,Xi,x2]f(x)Xif[xo,X1,X2,x3]f[x,x]f(x2)f[xo,xi,.,x]X2f[x1,X2,x3]f[x2,x3]f[xX2,X3,x4]f(xg)X3f[x2,X3,XAf[x3,x4]f(x4)X4规定函数值为零阶差商
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 x f x x f x x f x x f x x f x x f x k k 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 2.差商的计算方法(差商表): [ , ] 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 3 4 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 2 3 4 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , , ] 0 1 4 f x x " x 规定函数值为零阶差商