中国矿亚天整CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY3.差商的性质性质1（差商的对称性）anf(x)f[xo,xi,.,x,]=k=01其中ak11II(x, -x,)i=0itk它表明差商与节点的排列次序无关f[xo,x,...,x,]= f[xi,xo,,x,]=
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 3.差商的性质 性质1 (差商的对称性) 0 1 0 [, ] () n n kk k fx x x afx = " = ∑ 0 1 ( ) k n k i i i k a x x = ≠ = ∏ − 其中 01 10 [, ] [, , ] n n fx x x fx x x " "" = = 它表明差商与节点的排列次序无关
中国矿亚大鉴CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY由性质1可得性质2f[xo,x,,xn]f[xi,x2,."",x,]-f[xo,x,..",xn-1]Xn-xo
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 由性质 1可得 性质 2 0 1 12 01 1 0 [, ] [, , ] [, ] n n n n fx x x fx x x fx x x x x − − = − = " " "
中国矿亚大整CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY性质3（差商与导数的关系）若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点xo,Xi,…,x,E[a,b]，则至少存在一点E[a,b]，使f("(5)f[xo,,..,x,]=n!它表明：n次多项式的n阶差商是一个常数
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 性质3 (差商与导数的关系 ) ( ) 0 1 ( ) [, ] ! n n f fx x x n ξ " = 它表明: n 次多项式的 n 阶差商是一个常数 若f (x ) 在 [ a , b ]上存在 n阶导数，且节点 x 0, x 1, ., x n ∈ [ a , b] ，则至少存在一点 ξ ∈ [ a , b] ，使
中国矿大医CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY二、Newton插值多项式设插值多项式P(x)= ao +ai(x - xo)+a2(x - xo)(x -x)+..+an(x - xo)(x -x)..-(x - xn-1)P(x)= f ,i=0,1,",n满足插值条件fi-f.=f[xo,x]则待定系数为a=f=flxlaXi-Xof-ffi-foX, -x X -xo -f[xo,x,]-f[xo,x]1= [x0,x,x]a2=X2-XX -Xia, = f[xo,x,",x,l
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二、Newton插值多项式 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 0 1 0 2 0 1 + − − − − = + − + − − + n n a x x x x x x P x a a x x a x x x x " " 设插值多项式 满足插值条件 P ( xi) = fi , i = 0 , 1 , " , n 则待定系数为 0 1 [, ] n n a fx x x = " 0 0 0 a = f = f [ ] x 1 01 1 0 1 0 [,] f f x x a = f x x − = − 20 10 20 10 2 2 1 f f ff a x x xx x x − − − − − = = − 02 01 2 1 012 [,] [, [ ] ] , , fx x fx x x f xxx x = − −
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY定义.称N,(x)=ao +a(x-x)+a,(x-x)(x-x)+..+a.(x-xo)(x-x)...(x-xn-1)k-1= fo +Z f[xo,X,,xllI(x-x,)(o (x)=I1(x-x)j=0k=lj=0为k次多项式= fo+Zf[xo,x,",xlo (x)k=l为f(x）关于节点x，处的n次Newton基本插值多项式。由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为R,(x)= f(x)- N,(x) = I((2)On+I(x)(n+1)!
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 01 0 2 0 1 01 1− = + −+ − −+ +− − − ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) " " n n n N x a ax x ax x x x axx xx xx 1 0 01 1 0 − = = =+ − ∑ [, ] ( ) " ∏ n k k j k j f fx x x x x 定义. 称 R n n () () () x fx N x = − 1 1 1 ξ ω + = + + ( ) ( ) ( ) ( )! n n f x n 由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为 0 01 1 ω = = + ∑ [ , , , ] () " n k k k f fx x x x 1 0 − = = − ∏( ) k j j ω ( ) x x k x 为 k次多项式 为 f (x) 关于节点 xi 处的 n 次Newton基本插值多项式