中国矿亚大整CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY注： 通常不能确定 5,而是估计|r(u)(x)≤ Mu1, Vxe(a,b)Mn+1将Ix-x作为误差估计上限。11(n+1)!E当f(x)为任一个次数≤n的多项式时，f(n+)(x)=0,可知R,(x)=0，即插值多项式对于次数≤n的多项式是精确的
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 注： ) 通常不能确定 ξ x , 而是估计 , ∀x ∈ ( a,b ) 将 作为误差估计上限。 1 ( 1) ( ) + + ≤ n n f x M ∏= + − + n i i n x x n M 0 1 | | ( 1)! ) 当 f(x) 为任一个次数 ≤ n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 ≤ n 的多项 式是精确的。 ( ) 0 ( 1) ≡ + f x n R ( x ) ≡ 0 n
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY例3若f(x）=/x，三个插值节点为144,169,225，试估计用Lagrange线性和二次插值做f(175)近似值的截断误差15.331解f'(x):2f"(x) =fm(x)x2Vx84f"(5)R,(x)=(x-169)(x-225)2f"(5)R(x) :x-144)(x -169)(x - 225)2"():/ R,(175) /=(175-169)(175-225)~"(5)=150|"(5)211-[F"(5)/=E<45VE44*169*13150[R, (175)≤=0.017068730086484*169*13
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例3 若 三个插值节点为 fx x ( ) , 144,169,225 = ， 试估计用 线性和二次插值做 近似值的截断误差 Lagrange (175) . f 解 1 ( ) 2 f x x ′ = 3 2 1 ( ) 4 fx x − ′′ = − 5 2 3 ( ) 8 fx x − ′′′ = 1 ( ) ( ) ( 169)( 225) 2 f Rx x x ′′ ξ = −− 2 ( ) ( ) ( 144)( 169)( 225) 2 f Rx x x x ′′′ ξ = −−− 1 ∴| (175) | R ( )(175 169)(175 225) 2 f ′′ ξ = −− 300 ( ) 150 ( ) 2 = = f f ′′ ′′ ξ ξ 3 2 11 1 ( ) 4 4*169*13 4 f ξ ξ ξ ξ − ′′ == ≤ 1 150 | (175) | 4*169*13 R ≤ = 0 01706873008648
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OF MININGAND TECHNOLOGY"() (175-144)(175 -169)(175 - 225)[R,(175)/ =69300"(5)=4650|F"(5)2333fwE5885°V58*1442*124650*3: /R(175)<8*1442 *12 =0.00700774016204注：利用matlab的函数sqrt(175)，得>> format long>> sqrt(175)ans=13.22875655532295
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 注：利用matlab的函数sqrt(175)，得 >> format long >> sqrt(175) ans = 13.22875655532295 2 | R (175)| ( )(175 144)(175 169)(175 225) 6 f ′′′ ξ = −−− 9300 ( ) 4650 ( ) 2 = = f f ′′′ ′′′ ξ ξ 5 2 2 2 33 3 ( ) 8 8*144 *12 8 f ξ ξ ξ ξ − ′′′ == ≤ 2 2 4650* 3 | (175) | 8*144 *12 ∴ R ≤ = 0.00700774016204
中国矿亚天整CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGYV3sin元-1singsin1，分别利用sinx的例：已知.32121次、2次Lagrange插值计算sin50，并估计误差。5元50°18解：n=1分别利用xo,x,以及xi，x计算x.xX21x一元/61X一元/4净利用x=元，=个P(x)=元/6一元/4*2元/4一元/6*／2(5)=-sins, 5, (%号)内插通常优于外推。选择四元要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。sin 50o = 0.7660444...1差~-0.01001外推/*extrapolation*/的5元净利用X=至，2=号0.00538<R< 0.00660sin 50°~0.718内插/*interpolation*/的实际误差~0.00596
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：已知 2 ,分别利用 sin x 的 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = π π π 1次、 2 次 Lagrange 插值计算 sin 50 °, 并估计误差。 解： x 0 x1 x 2 18 5 50 0 π = n = 1 分别利用 x 0, x 1 以及 x 1, x 2 计算 4 , 6 0 1 π π 利用 x = x = 1 /4 1 /6 1 ( ) /6 /4 2 /4 /6 2 x x P x π π ππ ππ − − = ×+ × − − 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) π π f x = x f ξ x = − ξ x ξ x ∈ 而 ) 4 )( 6 ( 2! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 ξ π π < ξ < = x − x − f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( − < 1 < − π R sin 50 ° = 0.7660444. 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 ≈ −0.01001 3 , 4 1 2 π π 利用 x = x = sin 50 ° ≈ 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < π R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 ≈ 0.00596 0 1 5 sin 50 ( ) 1 0.77614 8 P π 内插通常优于外推。选择 ≈ ≈ 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好。
中国矿基大医CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(x-)(x-)V3(x-)(x—号) 1(x一)(x—号)n=2L(x) :（一）（号一至）2（若）（）2(—)(至)225元sin50°~L,~0.7654318-cos5r店<COSE元）(x-R,(x)=)(x-);X3!65元m0.00044< R<0.00077sin50°=0.7660444.182次插值的实际误差~0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 × − − − − × + − − − − × + − − − − = π π π π π π π π π π π π π π π π π π x x x x x x L x 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 − − − < < − = x x R x x x x ξ ξ π π π 0.00077 18 5 0.00044 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < π R sin 50 ° = 0.7660444. 2次插值的实际误差 ≈ 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿. 0 2 5 sin 50 ( ) 1 0.76543 8 L π ≈ ≈