例1.讨论等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+ag+ag2++ag”+.(a≠0)） 1n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则部分和 S.=atag+ag2+.+ag"-1=a-ag" 1-q 当q<1时，由于1imq”=0,从而1imSn=2 n→00 n→∞ 1-q 因此级数收敛，其和为g 当q>1时，由于1img”=oo,从而lim S=o, n-→o∞ n-→0 因此级数发散
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n 1 从而 q a n n S 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a 从而 lim , n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为
2).若9=1，则 ag”,(a≠0 11=0 当q=1时，Sn=na→o,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1）n-a+. n为奇数 因此 s.- n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散 n→00 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散