2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xdx= 2 f(x dx=0+x 0 故1f(x)dx=0 解法二f(x)是-1,1的奇函数 x)x=0 例6.7求 T(1+x)cos x 1+cosx T(1+x)cosx 解 n,x=202,dx 1+cos x 1+coS x d(sin x) l√2+ 2-sin' x 2√2-1 可以直接用凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 6.22变量替换法 第 换元法的基本思路(凑微分方法) Sof(x)dx=f(b)f(a) af(o(x) '(x)dx=f(p(x)) 第二换元法的基本思路: f(x)hx=f(()·()t=F(()。其中 要求∫(x)与(t)连续,x=0(1)有反函数t=-(x),且 a=(a),b=(B) ∫f(x)ldx=F(x)+C 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 2 3 2 ( ) 0 1 2 0 1 ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫− x x f x dx ， 2 3 2 ( ) 1 0 2 1 0 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ = + x x f x dx 故 ∫ =0。 − 1 1 f (x)dx 解法二 f (x)是[−1,1]的奇函数, ∫− 1 1 f (x)dx =0. 例 6．7 求 dx x x x ∫ − + + 2 2 2 1 cos π (1 )cos π 。 解: dx x x dx x x x ∫ ∫ + = + + − 20 2 2 2 2 1 cos cos 2 1 cos π (1 ) cos π π 。 2 1 2 1 ln 2 1 2 sin (sin ) 2 20 2 − + = − = ∫ dx x π d x 可以直接用凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 6.2.2 变量替换法 第 一 换元法的基本思路（凑微分方法 ） : f (x)dx f (b) f (a) b ∫a ′ = − b a b ∫ a f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) 第二换元法的基本思路: β α β f (x)dx α f (ϕ(t)) ϕ (t)dt F(ϕ(t)) b ∫ a = ∫ ⋅ ′ = 其 中 要 求 f (x) 与 ϕ′(t) 连续， x = ϕ(t) 有 反函数 ( ) 1 t x − = ϕ , 且 a = ϕ(α),b = ϕ(β )， ∫ f (x)dx = F(x) + C 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 换 (a, b)=af(x)dx bf(xdx>J,f(x(O)x'(t)dt x-a 令t ∫af(x)ax→Jaf(x(1)x()t: 元法的重要应用之一是区间变换 d-d (d-c)+c, 还有反号变换:t=-x,倒数变换:t=。变 积 分 广泛用于积分的合并与拆分。 区 间 为特定目的的变换。 例6.8求二4 X 解:令l三一,∫-3 再令1=2sect,则du=2 tan sec tdt, 当4=3时t= arccos二,当l=4时 2 tan t sec t 2 4 2 4 arccos 2 tan t coSt arccos coS t 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -7-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 换 元 法 的 重 要 应 用 之 一 是 区 间 变 换 ： 以 改 变 积 分 区 间 为特定目的的变换。 例 6．8 求 ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx 。 解: 令u = −x , ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx = ∫ − 4 3 2 u 4 du . 再令u = 2sect , 则du = 2 tan sectdt , 当u = 3时 3 2 t = arccos ,当u = 4时 3 π t = , = − ∫ − − 3 4 2 x 4 dx ∫ = ∫ − 2 3 2 arccos 4 3 2 2 tan 2 tan sec 4 π dt t t t u du = ∫ 2 3 2 arccos 2 cos π cos dt t t = ∫ b I f (a,b) a f (x)dx f x dx f x t x t dt b a ( ) ( ( )) ( ) 1 0 ⇒ ′ ∫ ∫ ： 令 b a x a t ， − − = f x dx f x t x t dt d c b a∫ ( ) ⇒ ∫ ( ( )) ′( ) ： 令 d c c b a x a t − + ， − − = ( ) 还有反号变换：t = −x，倒数变换： x t 。1 = 广泛用于积分的合并与拆分。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 d sin t 2 arccos(1-sint 1+sint 再令y=Snt(可直接利用决微分法) sin t arccos- sint 1+sint 1+l|2 av=-n 1+ 21 3 ln(2+√3)-ln(3+√5)+ln2 例69设f(x)-cos2x=/af(2x)kx 求a2f(x)k 解记浮f(x)dx=1,再2x=l,则dx=dm, /(2x)k=/(u uRdu 对等式f(x)-cos2x=(f(2x)d两边取积分得到 丌 x -coS x 1-」86cos2xbx= 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 2 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 再令 y = sin t （可直接利用凑微分法）, ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 2 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy y y − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∫ = ln(2 + 3) − ln(3 + 5) + ln 2 。 例 6．9 设 ( )− = ∫ 4 ( ) 0 2 cos 2 π f x x f x dx ， 求 ∫ 2 ( ) 0 π f x dx 。 [解] 记 ∫ 2 f ( ) x dx = I 0 π ，再令2x = u ，则dx du 2 1 = ， ∫ 0 4 ( ) 2 = π f x dx f ( ) u du I 2 1 2 1 2 ∫ 0 = π 。 对等式 ( )− = ∫ 4 ( ) 0 2 cos 2 π f x x f x dx 两边取积分得到, ( ) dx I I f x x dx 2 4 [ cos ] 20 20 π 2 π π ∫ − = ∫ = . 即 I xdx I 4 2 cos 0 π 2 π − ∫ = ， 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 丌丌 故-I=c0s2xdx= 224 因此Ⅰ=∫3f(x)dx= 4-丌 例6.10设∫(x)是0,1上的连续函数,则(D)。 () Joxf(sin x dx=Jof(sin x)dx ()」xf(sinx)dx=2」f(sinx)dx, (c)Joxf(sin x )dx sinx)ax, (D)Joxf(sin x) dx =Jo f(sin x ) dx [解]令xX三丌一t roxf(sin x dx=-jr(T-tf(sint )dt -Joff (sint ) dt+rJo f(sint)dt 移项得知答案为D 6.2.3分部积分法 设f(x)与g(x)在[a,b]连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函 数,则 f(x)g(x)=F(x)g(x)。-F(x)(x)例 求11nxdx 解:∫nxdx=xnxi-fxd(nx) e ri dx 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 9-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 故 I − I = ∫0 2 xdx 2 cos 4 π π 2 2 4 1 π π = ⋅ = , 因此 I = ∫ 0 2 f (x)dx = π π π 4 − 。 例 6.10 设 f (x) 是[0, 1]上的连续函数, 则（ D ）。 (A) ∫ = ∫ π π 0 π 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx , (B) ∫ = ∫ π π 0 π 0 xf (sin x)dx 2 f (sin x)dx , (C) ∫ = ∫ π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx , (D) ∫ = ∫ π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx [解] 令 x = π − t, dx = −dt ， ∫ = −∫ − 0 0 (sin ) ( ) (sin ) π π xf x dx π t f t dt = −∫ + ∫ π π 0 π 0 tf (sin t)dt f (sin t)dt ， 移项得知答案为 D。 6.2.3 分部积分法 设 f (x)与 g ′(x)在[a,b]连续，F(x) 为 f (x)在 上的一个原函 数，则 [a,b] ∫ ∫ = − ′ b a b a b a f (x)g(x)dx F(x)g(x) F(x)g (x)dx 例 6．11 求 ∫ e e xdx 1 ln . 解: ∫ = − ∫ ( ) e e e e e e 1 ln xdx x ln x 1 1 xd ln x e dx e e e e 1 2 ⎟ − 1 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫ 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例6.12证明Sin"xax=∫c0s”xdbx,并求 U=fe sin"xdx 证:令X-2 U=fcos"tdt=fe cos"xdx In=asin"xdx=J"xd(cos x) -sin"-x cos x(2+(n-1)2 sin -x cos'xdx (n-1)( 初值: n 注:上述结果称为积分的递推公式,常用递推公式有一步递推或二步递推格式,应指出的是, 以递推公式表示积分结果,必须给出初值,一步递推格式需有一步初值,二步递推格式需有 二步初值,才能构成完备的计算格式 上述结果可归纳得到下述实用形式 (2n-1)! (2n)! 2 (2n)!2 (2n+1)! SIn x COS x +sin x 例63= 8 丌 415830 由对称性与积分概念,立即得知答案 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10-清华大学理科楼101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 6 ． 12 证 明 ∫ 20 sin π xdx n = ∫ 20 cos π xdx n ，并求 = ∫ 20 sin π J xdx n n 。 证：令 x = − t 2 π ， = −∫ 0 cos π J tdt n n 2 = ∫ 20 cos π xdx n 。 = ∫ = ∫ − − 20 1 20 sin sin ( cos ) π π I xdx xd x n n n ( 1)( ) sin cos ( 1) sin cos 2 20 2 2 2 0 1 n n n n n I I x x n x xdx = − − = − + − − − − ∫ π π 2 1 − − n = n I n n I ，（n = 2,3,L），初值： , 1 2 J 0 = J1 = π 。 注：上述结果称为积分的递推公式，常用递推公式有一步递推或二步递推格式，应指出的是， 以递推公式表示积分结果，必须给出初值，一步递推格式需有一步初值，二步递推格式需有 二步初值，才能构成完备的计算格式。 上述结果可归纳得到下述实用形式： 1 (2 1)!! (2 )!! , (2 )!! 2 (2 1)!! 2 2 1 ⋅ + ⋅ = − = + n n I n n I n n π （n = 1,2,3,L）。 例 6.13 = − + = ∫ dx e e x I x x 20 sin cos 5 8 π sin （ ） 。 (A) 4 π 。(B) 15 1 。(C) 8 π 。(D) 30 1 。 由对称性与积分概念，立即得知答案 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785