14第7章多项式环(2)(x)=x+x-2x+3,g(x)=3#-x+2.4.设(x）=-3+a,x+agg(x）=x-3x+1,求g(x）整除f(x)的充分必要条件5.用综合除法求一次多项式g（x）除（x）所得的商式与余式(1)f(x)=3xt-5x+2x-1,g(x)=x-4;(2)f(x)=5x-3x+4,g(x)=x+2.6.证明：在K[x]中，如果g（x）|（x），且f（x）￥0，那么deg g(x)≤degf()7.设meN'，aeK，证明：在K[x]中，（x-a）|（x"a"），并且求商式8.设meN*，aeK，证明：在K[x]中，（x+a）|（x2n+l+a2m*t），并且求商式*9.设a，bez，如果有heZ使得a=hb,则称6整除a，记作ba，此时b叫做a的因数（或因子），a叫做b的倍数；否则，称b不能整除a,记作bta.证明：（1）如果ab且ba（此时称a与b相伴），则a=±b;反之也成立：（2）如果alb且blc.则a|c（3）如果ba，i=1,2,，s，则对于任意u,eZ，i=1,2,，8，有b(u,a,+ua++u,a,);（4）如果6a且a￥0则6/≤al阅读材料一：整数环中的带余除法定理1任给a，bez，b手0，则存在唯一的一对整数g,r使得a=bg+r,0≤r<bl.证明考虑集合S=la-bslsez.a-bs≥0l.若b>0,则a-b（-a）=a+ab≥0；若b<0则a-ba≥0.因此S非空s必有一个最小的数，设为a-bq.令r=a-bq，根据S的定义，r≥0.如果r≥6l，且b>0,则r-b≥0从而a-bg-b≥0，即a-b(g+1）≥0.于是a-b(g+1）es,即r-beS但r-b<r，这与r的定义矛盾.如果r≥bl且b<0则0≤r+b=a-b(g-1).于是r+beS,但r+b<r,矛盾.所以于<b.存在性得证唯一性.假如还有整数g，，使得a=bq'+r",0≤r'<|bl,则得bg+r=bg+r.不妨设r≤r.于是b（g-g）=r-r.因为0≤r<|bl,0≤<|b|,r≤r,所以0≤r-r<b.于是1-9=<1,16l-由此得g-g=0，即g=g.从而得r=r
1583最大公因式83最大公因式从上一节知道，数域K上的一元多项式环Kx有带余除法，这是KIx的一个重要性质.这一节我们要由此出发推导出Kx|的另一个重要性质：Kx】中任何两个多项式都有最大公因式，并且f（x）与g（x）的最大公因式可以表成fx）与g（x）的倍式和在Kx中，如果c（x）既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，则称c（x）是（x）与g（x）的一个公因式.在（x）与g（x）的所有公因式中，具有下述性质的公因式特别重要，即定义1K[x]中多项式f(x）与g（x）的一个公因式d（）如果具有下述性质：对于（x）与g（x）的任一公因式c（x），都有c（x）d（x），则称d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式对于任意多项式f（x），由于f（x）f（x）且f（x）0，因此f（x）是f（x）与0的一个公因式，又由于f（x）与0的任一公因式c（x）f（x），因此f（x）是f（x）与0的一个最大公因式.特别地，0是0与0的最大公因式，对于Kx中任意两个多项式，是否存在它们的最大公因式？如果存在，如何找出它们的最大公因式？对于给定的两个多项式（x）与g（x），它们的最大公因式是否唯一？这此就是本节要讨论的题我们先指出几个简单而有用的结论：命题1设f(x），g（x），p（），q（）都是K[]中的多项式，如果f(x）与g（x）的所有公因式组成的集合等于p（x）与q（x）的所有公因式组成的集合，那么f(x）与g（x）的最大公因式的集合等于p（x）与g（x）的最大公因式的集合证明设d(x）是f(x）与g（x）的一个最大公因式，则d（x）是p（x）与q(x）的二个公因式.任取p（x）与g（x）的二个公因式（x），则（x）也是f（x）与g（x）的公因式，从而（x）|d(x）.所以d（x）是p（x）与q（x）的一个最大公因式.同1理，P（x）与g（x）的任一最大公因式也是f(x）与g（x）的最大公因式推论2设(x），g（x）K[x，ab是K中非零数，则f（x）与g（x）的最大公因式的集合等于af（x）与bg（x）的最大公因式的集合，证明显然（x）与g（x）的任一公因式是af（x）与bg（x）的公因式.对于af（x）与bg（x）的任一公因式c（x）有c（x）af（x）.又由于a0，因此af(x）f（x）.从而c（x）f（x）.同理，c（x）|g（x）.因此c（x）也是f(）与g（x）的1公因式于是由命题1立即得出结论引理1在K[x]中，如果有等式(1)f(x)=h(x)g(x) +r(x)
16第7章多项式环成立，则x）与g（x）的最大公因式的集合等于g（x）与r（x）的最大公因式的集合.设d（x）是（x）与g（x）的一个公因式，则d（x）l（x），并且证明d（x）g（x）.因为从（1）式得r(x)=f(x)-h(x)g(x)所以d（x）r(x）.即d(x）是g（x）与r（x）的一个公因式.现在任取g（x）与r(x)的一个公因式c（x），由（1）式得，c（x）l(x）.于是c（x）是f（x）与g（x）的公因1式.由命题1立即得到所要求的结论，现在来证明这一节的主要结果：定理3对于K[xl中任意两个多项式f（x）与g（x），存在它们的一个最大公因式d（x），并且d（x）可以表示成f（x）与g（x）的倍式和，即有K[x)中多项式u（x）与(x），使得(2)d(x)=u(x)f(x)+(x)g(x).证明如果g（x）=0则f（x）就是f（x）与g（x）的一个最大公因式，并且f(x)=1.f(x)+10.现在设g（x）≠0.据带余除法，有h,（x），（x）eK[x，使f(x)=h,(x)g(x)+r,(x),degr,(x)<degg(x)如果r（x）半0，则用（x）去除g（x），有h（x），z（x）K[x)，使得g(x)=h,(x)r(x)+rz(x),deg1,(x)<degt,(x)又如果r2（x）0则用r2（x）去除（x），有h（x），（）K[x]使得(x)=h,(x)r,(x)+r,(x),degt,(x)<degr(x)如此镶转相除下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此在有限次之后，必然有余式为零，即T2(x) =h(x)r,(x) +4(x), degt(x)<degT,(x),T1-2(x)=h,(x)ri-,(x)+r,(x),degr,(x)<deg(-1(x),T,-g(x) =h,-1(x)rt-2(x) +r,-1(x),deg /,-,(x)<deg [,-2(x),T,-2(α) =h(x)T,-1(x) +r,(x), deg r,(x)<deg(,-,(x),r.-1(x) =h,t1(x)r,(x)+0,其中所有h（x），r（x）EK[x].由于r（x)是r（x)与0的一个最大公因式因此据引理1，从上述等式的最后一个式子得出，（x）是,-1（x）与（x）的一个最大公因式.于是r.（x）也是「，-2（x）与r-1（x）的一个最大公因式；从而（x）也是T,-3（x）与r.-2（x）的一个最大公因式：依次往上推，5（x）也是f（x）与g（x）的一
1783最大公因式个最大公因式，这证明了：在对（x）与g（x）作转相除时，最后一个不等于零的余式是（x）与g（x）的一个最大公因式从上述等式中倒数第二个得r(x)=r-2(x)-h(x)r-(x)再由倒数第三式得r-1(x) =r.-3(x) -h,-1(x)r-3(x)代入上式得r(x)=[1+h(x)h,-,(x)]r-2(x)-h(x)r-a(x)同理用更上面的等式逐个地消去,-3（x），-（x），，（x），可得r(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),1其中u(x),(x)eK[x].定理3的证明给出了求两个多项式的最大公因式的方法，称它为辗转相除法.任意给定K[x1中两个多项式f（x）与g（x），它们的最大公因式是否唯一？设d（x），d（x）都是f（x）与g（x）的最大公因式，据定义得，d（x）d（x）且d,（x）d（x）.因此d（x）与d,（x）相伴，即d（x）与d（x）仅相差一个非零数因子，这说明：两个多项式的最大公因式在相伴的意义下是唯一确定的.容易看出，两个不全为零的多项式的最大公因式一定是非零多项式，在这个情形，我们约定，用(f(x),g(x))来表示首项系数是1的那个最大公因式，注：在定理3的证明过程中，我们证明了（x）是fx）与g（x）的一个最大公因式并且有r（x）=u（x）（x）+v（x）g（x）.对于f（x）与g（x）的任一最大公因式d(x），由于d（x）与r（x）相伴，因此d（x）=cr（x），其中c是K中某个非零数于是有dx）=cu（x）f（x）+cv（x）g（x）.这表明d（x）也可以表示成f（x）与g（x）的倍式和由推论2得出.设fx）.g（x）不全为零，则对于a.beK且a半0.b≠0，有(f(x),g(x))=(af(x),bg(x)).例1设f(x)=x+x2-7x+2,g(x)=3x2-5x-2,求（f（x），g（x）），并且把它表示成（x）与g（x）的倍式和）解根据上面所述，在作辗转相除法时，可以用适当的非零数去乘被除式或者除式，以便使计算简单一些
18第7章多项式环g(α)3f(r)63r2-5r-2h()=3+13r*+3r2-21x+6=h.()3x2-6r3r3-5r2-2r82-19r+6x-28元2-40-161-231-3-号++号0ri(α)=-31(α)=a-2因为最后一个不等于零的余式是（x），所以(f(x).g(x))=x-2.把上述辗转相除过程写出来就是)g(x) +r,(x),3f(x)=(x+号g(#) =(3x +1)( -r(*) +0.((x),g(x) = -r于是17(α)-部[3(4) -(*+号)()]C号(x)+(3++8)g(x),-17事物的临界点起着重要作用，因此我们来研究两个多项式的最大公因式是非零数（即零次多项式）的情形定义2K[x中的两个多项式f（x），g（x），如果（f（x），g（x））=1，则称f(x）与g(x)互素从定义2立即得出，两个多项式互素当且仅当它们的公因式都是零次多项式（因为它们的任一公因式c（x）|1，所以degc（x）=0）下面我们给出两个多项式互素的一个充分必要条件，它非常有用定理4K[x]中两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是有K[x]中的多项式u（x），(x），使(3)u(x)f(x)+v(x)g(x)=1证明用必要性.从定理3立即得出。现在证充分性.设（3）式成立：因为（f（x），g（x））1（x），并且(f(x），g（x））lg（x），所以从（3）式得，（（x），g（x））l1.于是