5.4节数值积分和微分方程 数值解
5.4节 数值积分和微分方程 数值解
一.数值定积分求面积 ·【例5-4-1】用数值积分法求由y=-x2+115,y=0, =0与x10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精 度的影响。 。分 解：◆原理用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较， 步长的变化用循环语句实现。MATLAB中的定积分有专门 的函数QUAD,QUADL等实现。为了弄清原理，我们先用 直接编程的方法来计算，然后再介绍定积分函数及其调用 方法。设x向量的长度取为n,即将积分区间分为n-1段， 各段长度为△x,(i=1,2,…,n-1)。算出各点的 y,(i=1,2,…,n+1),则矩形法数值积分公式为： ∑aAx
一．数值定积分求面积 • 【例5-4-1】 用数值积分法求由 ，y=0, x=0与x=10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精 度的影响。 • 解: ◆原理 用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较， 步长的变化用循环语句实现。MATLAB中的定积分有专门 的函数QUAD,QUADL等实现。为了弄清原理，我们先用 直接编程的方法来计算，然后再介绍定积分函数及其调用 方法。设x向量的长度取为n，即将积分区间分为n-1段， 各段长度为 。算出各点的 ，则矩形法数值积分公式为： 2 y x = − +115 ( 1, 2, , 1) i = − x i n ( 1, 2, , 1) i y i n = + 1 1 n i i i s y x − = =
矩形和梯形定积分公式 。梯形法的公式为： 2 。 比较两个公式，它们之间的差别只是0.5(yn-)。 ·在MATLAB中，把向量中各元素叠加的命令是sum。把向 量中各元素按梯形法叠加的命令是trapz。梯形法的几何意 义是把被积分的函数的各计算点以直线相联，形成许多窄 长梯形条，然后叠加，我们把两种算法都编入同一个程序 进行比较
矩形和梯形定积分公式 • 梯形法的公式为： • 比较两个公式，它们之间的差别只是 。 • 在MATLAB中，把向量中各元素叠加的命令是sum。把向 量中各元素按梯形法叠加的命令是trapz。梯形法的几何意 义是把被积分的函数的各计算点以直线相联，形成许多窄 长梯形条，然后叠加，我们把两种算法都编入同一个程序 进行比较。 1 1 1 1 1 2 2 2 n n i i n i i i i i y y y y q x y x − − + = = + + = = + 0.5( y y n − 1 )
求面积的数值积分程序exn541 for dx=[2,1,0.5,0.1] %设不同步长 X=0:.1:10;y=-X.*x+115; %取较密的函数样本 plot(x,y),hold on %画出被积曲线并保持 x1=0:dx10;y1=-X1.*x1+115; %求取样点上的y1 %用矩形（欧拉）法求积分，注意末尾去掉一个点 n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1))*dx; q=trapz(y1)*dx; %用梯形法求积分 stairs(x1,y1), %画出欧拉法的积分区域 plot(x1,y1) %画出梯形法的积分区域 [dx,s,q],pause(1) hold off,end
求面积的数值积分程序exn541 for dx=[2,1,0.5,0.1] % 设不同步长 x=0:.1:10;y=-x.*x+115; % 取较密的函数样本 plot(x,y),hold on % 画出被积曲线并保持 x1=0:dx:10;y1=-x1.*x1+115; % 求取样点上的y1 % 用矩形（欧拉）法求积分，注意末尾去掉一个点 n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1))*dx; q=trapz(y1)*dx; % 用梯形法求积分 stairs(x1,y1), % 画出欧拉法的积分区域 plot(x1,y1) % 画出梯形法的积分区域 [dx,s,q],pause(1), hold off，end
程序exn541运行结果 程序运行的结果如下： 150 步长dx 矩形法解s 梯形法解q 2 910 810 100 1 865 815 50 .5 841.25 816.25 .1 821.65 816.65 0 5 10 ·用解析法求出的精确解为2450/3=816.6666.。 dx2时矩形法和梯形法的积分面积见图5-4-1.。在曲线的 切线斜率为负的情况下，矩形法的积分结果一定偏大，梯 形法是由各采样点联线包围的面积，在曲线曲率为负（上 凸)时，其积分结菓一定偏小，因此精确解在这两者之间。 由这结果也能看出，在步长相同时，梯形法的精度比矩形 法高·
程序exn541运行结果 程序运行的结果如下： 步长dx 矩形法解s 梯形法解q 2 910 810 1 865 815 .5 841.25 816.25 .1 821.65 816.65 • 用解析法求出的精确解为2450/3=816.6666...。 • dx=2时矩形法和梯形法的积分面积见图5-4-1.。在曲线的 切线斜率为负的情况下，矩形法的积分结果一定偏大，梯 形法是由各采样点联线包围的面积，在曲线曲率为负（上 凸）时，其积分结果一定偏小，因此精确解在这两者之间。 由这结果也能看出，在步长相同时，梯形法的精度比矩形 法高