例2证明级数1+2+3+.+n+.是发散的。 证明：S。=1+2+3+.n=n+n=l2,3 2 ∴.limS,=li nn+)=+0 2 所以所给级数发散。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
12*23*.*1 例3判定无穷级数1+1 n(n+1) +.的收敛性。 解4，=1=11 nn+1)nn+1' 1,1 1223++1 n(n+1) 23++1-1 n+l 从而im8=im1-1) n*71 所以这个级数是收敛的，它的和是1。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
二、 收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑4，收敛于和S,则级数∑也收 敛，且其和为k。 性质2如果级蛇“~，分别收敛于s和1则 级数∑(u,+y)也收敛，且其和为s±t. 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数 的收敛性。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的 级数收敛。 (4+.+n)+(n1+.+)+.+(%+.+n)+. 特别注意：此结论的逆定理不成立。 性质5（级数收敛的必要条件） 如果级数∑“。收敛，则它的一般项趋于零，即 im4,=0 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例如**调和级数1十 ++.++ 23 n 的一般项趋于零，但它却是发散的。 证明：采用反证法： 若级数收敛，其和记为s, n 部分和为： 8乃1 p 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室