第十章 无穷级数 一、知识结构图与学习要求 (一)知识结构图 基本概念 收敛级数的基本性质 「利用定义（部分和 常数项级数 比较审敛法（包括极限形式） (正项级数 比值审敛法 审敛法 、根值审敛法 交错级数：莱布尼茨定理 无穷 一般项级数：绝对收敛与条件收敛 基本概 收敛半径与收敛域 幂级数 和函数（并由此求某些常数项级数的和） 函数项级数 ,将函数展开成幂级数（泰勒级数） 基本概念 收敛性的判定：收敛定理（狄利克雷充分条件）》 傅里叶级数 (在对称区间-1，刀上展开 展开为傅里叶级数〈在区间0，)上展开 展开为正弦或余弦级数 (二)学习要求 1,理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛 的必要条件
第十章 无穷级数 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛 的必要条件． 无 穷 级 数 常数项级数 函数项级数 傅里叶级数 基本概念 审敛法 收敛级数的基本性质 一般项级数：绝对收敛与条件收敛 正项级数 比较审敛法（包括极限形式） 展开为正弦或余弦级数 比值审敛法 利用定义（部分和） 基本概念 幂 级 数 交错级数：莱布尼茨定理 根值审敛法 基本概念 收敛性的判定：收敛定理（狄利克雷充分条件） 展开为傅里叶级数 将函数展开成幂级数（泰勒级数） 和函数（并由此求某些常数项级数的和） 收敛半径与收敛域 在对称区间 [ , ] −l l 上展开 在区间 [0, ]l 上展开
2.掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。 3.掌正项级数收敛性的比较审敛法和比值市敛法，会用根值市敛法。 4.掌握交错级数的菜布尼茨审敛法。 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7.理解幂级数的收敛半径的概念、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和. 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 10.掌握e、sinx、cosx、nl+x)和(1+x的麦克劳林展开式，会用它们将一些简 单函数间接展开成幂级数 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-1，】上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在[0，】上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 的表达式 二、内容提要 (一)常数项级数 1.概念 （)若级数立，的部分和数列=4+%++)有极限s,即m5=5,则称 无穷级数∑山，收敛，并称s为它的和，记为5=∑4：否则称它是发散的。 (2)称级数∑u,(似，≥0，n=12)为正项级数.称级数∑(-)一u,或∑(-°4，（其中 4。>0)为交错级数 (3)如果级数立以，收敛，则称级数∑“，绝对收敛：如果级数立山，发散，而级数三 收敛，则称级数∑”，条件收敛 2.定理（性质） (1)几何级数 g=1+g+g++g+
2．掌握几何级数与 p − 级数的收敛与发散的条件． 3．掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法． 4．掌握交错级数的莱布尼茨审敛法． 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系． 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念． 7．理解幂级数的收敛半径的概念、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法． 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和． 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件． 10．掌握 x e 、sin x 、 cos x 、 ln(1 ) + x 和 (1 )x + 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简 单函数间接展开成幂级数． 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [ , ] −l l 上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在 [0, ]l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 的表达式． 二、内容提要 （一）常数项级数 1．概念 （1）若级数 1 n n u = 的部分和数列 1 2 ( ) n n n s s u u u = + + + 有极限 s ，即 lim n n s s → = ，则称 无穷级数 1 n n u = 收敛，并称 s 为它的和，记为 1 n n s u = = ；否则称它是发散的． （2）称级数 1 ( 0, 1,2, ) n n n u u n = = 为正项级数．称级数 1 1 ( 1)n n n u − = − 或 1 ( 1)n n n u = − （其中 0 n u ）为交错级数． （3）如果级数 1 n n u = 收敛，则称级数 1 n n u = 绝对收敛；如果级数 1 n n u = 发散，而级数 1 n n u = 收敛，则称级数 1 n n u = 条件收敛． 2．定理（性质） （1）几何级数 2 0 1 n n n q q q q = = + + + + +
当<1时收敛。其和为一g而当21时发散。 (2)p-级数 品=1宁可宁.p是常数. 当p>1时收敛：而当p≤1时发散.特别地，当p=1时，调和级数 =1+分++.++. 发散 3)设级数三，和立，都收敛，则级数立以，士，)收敛，由此可知 a.若∑“，收敛，∑发散，则∑，±，)发散： b.若立.发散，工，发散，则正化，±)收敛性不定： 。若立4，与，均绝对收敛，则u,士)绝对收敛： d.若∑”绝对收敛，∑.条件收敛，则∑（以，±，）条件收敛. (4)设级数∑4.收敛，k为一个常数，则 a.∑k,收敛且im私.=0.（若m,≠0，则级数∑4，发散.） b.对∑，中的项任意加括号后所得的新级数仍收敛。（如果对级数∑，的项加括号后 所得新级数发散，则原级数发散.) (5)在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 (6)如果级数∑“，绝对收敛，则级数∑4，必定收敛. 3.方法 (1)正项级数的审敛法： a.利用级数收敛的定义： b.利用级数收敛的充要条件：级数收敛一部分和数列有界： c.比较审敛法： d.比值审敛法： e.根值审敛法： ￡.极限审敛法。 (2)交错级数的市敛法：莱布尼茨定理. (3)一般项级数∑“，的审敛法：先转换为判别是否是收敛，若收敛，则原级数
当 q 1 时收敛，其和为 1 1− q ，而当 q 1 时发散． （2） p − 级数 1 1 1 1 1 1 2 3 p p p p n n n = = + + + + + （ p 是常数）， 当 p 1 时收敛；而当 p 1 时发散．特别地，当 p =1 时，调和级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 = = + + + + + 发散． （3）设级数 1 n n u = 和 1 n n v = 都收敛，则级数 1 ( ) n n n u v = 收敛．由此可知： a．若 1 n n u = 收敛， 1 n n v = 发散，则 1 ( ) n n n u v = 发散； b．若 1 n n u = 发散， 1 n n v = 发散，则 1 ( ) n n n u v = 收敛性不定； c．若 1 n n u = 与 1 n n v = 均绝对收敛，则 1 ( ) n n n u v = 绝对收敛； d．若 1 n n u = 绝对收敛， 1 n n v = 条件收敛，则 1 ( ) n n n u v = 条件收敛． （4）设级数 1 n n u = 收敛， k 为一个常数，则 a． 1 n n ku = 收敛且 lim 0 n n u → = ．（若 lim 0 n n u → ，则级数 1 n n u = 发散．） b．对 1 n n u = 中的项任意加括号后所得的新级数仍收敛．（如果对级数 1 n n u = 的项加括号后 所得新级数发散，则原级数发散．） （5）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （6）如果级数 1 n n u = 绝对收敛，则级数 1 n n u = 必定收敛． 3．方法 （1）正项级数的审敛法： a．利用级数收敛的定义； b．利用级数收敛的充要条件：级数收敛 部分和数列有界； c．比较审敛法； d．比值审敛法； e．根值审敛法； f．极限审敛法． （2）交错级数的审敛法：莱布尼茨定理． （3）一般项级数 1 n n u = 的审敛法：先转换为判别 1 n n u = 是否是收敛，若收敛，则原级数
绝对收敛，然后判别是条件收敛还是发散。 (二)函数项级数（主要讨论幂级数） 1.概念 (1)由定义在区间1上的函数列{u.(x所构成的表达式： 4(x)+，(x)+.+,(x)+. 称为定义在区间1的函数项级数，记为∑”，(x) (2)对于某个∈1，如果∑4，(G)收敛，则称是函数项级数∑“，（国的收敛点， 收敛点的全体称为∑“，)的收敛域：如果工“（化）发散，则称x是函数项级数立()的 发散点，发散点的全体称为三，()的发散域 (3)在收敛域/上，函数项级数∑“，(x)的和是x的函数，记为s(x),称sx)为函数项 级数∑4，(x)的和函数，即有 s)=∑4(x)=4(x)+4(x)+.+,(x)+，xe1. (4)5()=4(x)+,(x)++.()称为函数项级数∑，x)的部分和，则在收敛域上 有ms,()=s,称)=)-)为函数项级数()的余项 (5)形如 三ar=ata+af++ar+ 的函数项级数称为x的幂级数，而形如 2a,x-广=a+ax-+a-++a-6+. 的幂级数称为(x-)的幂级数，其中a(n=0,l2,)称为幂级数的系数。 (6)如果幂级数，”不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个实数轴上都收敛，则 必有唯一确定的正数R存在，使得当<R时，幂级数∑·绝对收敛，当内>R时，幂 级数Q,r发散，当x=R与x=-R时，幂级数,r可能收敛也可能发散.此时称正数R 为幂级数∑a,x的收敛半径.如果幂级数∑a仅在x=0处收敛，则它的收敛半径R=0:
绝对收敛，然后判别是条件收敛还是发散． （二）函数项级数（主要讨论幂级数） 1．概念 （1）由定义在区间 I 上的函数列 u x n ( ) 所构成的表达式： 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + 称为定义在区间 I 的函数项级数，记为 1 ( ) n n u x = ． （2）对于某个 0 x I ，如果 0 1 ( ) n n u x = 收敛，则称 0 x 是函数项级数 1 ( ) n n u x = 的收敛点， 收敛点的全体称为 1 ( ) n n u x = 的收敛域；如果 0 1 ( ) n n u x = 发散，则称 0 x 是函数项级数 1 ( ) n n u x = 的 发散点，发散点的全体称为 1 ( ) n n u x = 的发散域． （3）在收敛域 I 上，函数项级数 1 ( ) n n u x = 的和是 x 的函数，记为 sx( ) ，称 sx( ) 为函数项 级数 1 ( ) n n u x = 的和函数，即有 sx( ) = 1 ( ) n n u x = = 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， x I ． （4） 1 2 ( ) ( ) ( ) ) ( n n s x = u x u x u + + + x 称为函数项级数 1 ( ) n n u x = 的部分和，则在收敛域上 有 lim ( ) ( ) n n s x s x → = ，称 ( ) ( ) ( ) n n r x s x s x = − 为函数项级数 1 ( ) n n u x = 的余项． （5）形如 2 0 1 2 0 n n n n n a x a a x a x a x = = + + + + + 的函数项级数称为 x 的幂级数，而形如 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a x x a a x x a x x a x x = − = + − + − + + − + 的幂级数称为 0 ( ) x x − 的幂级数，其中 ( 0,1,2, ) n a n = 称为幂级数的系数． （`6）如果幂级数 0 n n n a x = 不是仅在 x = 0 一点收敛，也不是在整个实数轴上都收敛，则 必有唯一确定的正数 R 存在，使得当 x R 时，幂级数 0 n n n a x = 绝对收敛，当 x R 时，幂 级数 0 n n n a x = 发散，当 x R = 与 x R =− 时，幂级数 0 n n n a x = 可能收敛也可能发散．此时称正数 R 为幂级数 0 n n n a x = 的收敛半径．如果幂级数 0 n n n a x = 仅在 x = 0 处收敛，则它的收敛半径 R = 0；
如果幕级数∑a,在整个实数轴上收敛，则它的收敛半径R=+0。 开区间（一R风）称为幂级数∑a,”的收敛区间，而幂级数∑a,r的收敛域是（一R,R) (R风，【R)及-R风其中之一 (7)如果函数f(x)在点，的某邻域内具有各阶导数f(x),(x),(x),则 (x-)的幂级数 n-xr一2g-r 称为函数∫x)的泰物级数.特别取x,=0,则级数变为 称此级数为麦克劳林级数 2.定理（性质） (1)AbeI定理 如果幂级数∑a,x当x=x(≠0)时收敛，则适合不等式<k的一切x使这幂级数 绝对收敛：反之，如果幂级数∑a,x当x=x,时发散，则适合不等式>的一切x使这 幂级数发散。 @)设级故字0，知果回p,其中a、是蒂级数空a的相每两顶 的系数，则该幂级数的收敛半径 1 R= D P*0 +,p=0 0,p= 注定理中条件回侣仅仅是求幂级数收敛半径的充分条件，而非必要条件。 (3)幂级数∑a,x的和函数s)在其收敛域1上连续 (4)幂级数工4，的和函数s()在其收敛域/上可积，并有逐项积分公式 st-吃a,r-2a,r=2+r,xeD
如果幂级数 0 n n n a x = 在整个实数轴上收敛，则它的收敛半径 R = + ． 开区间 ( , ) −R R 称为幂级数 0 n n n a x = 的收敛区间，而幂级数 0 n n n a x = 的收敛域是 ( , ) −R R ， ( , ] −R R ，[ , ) −R R 及 [ , ] −R R 其中之一． （7）如果函数 f x( ) 在点 0 x 的某邻域内具有各阶导数 ( ) ( ), ( ), , ( ), n f x f x f x ，则 0 ( ) x x − 的幂级数 ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n + − + − + + − + = ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n = − 称为函数 f x( ) 的泰勒级数．特别取 0 x = 0，则级数变为 ( ) ( ) 2 0 (0) (0) (0) (0) (0) 2! ! ! n n n n n f f f f f x x x x n n = + + + + + = ， 称此级数为麦克劳林级数． 2．定理（性质） （1） Abel 定理 如果幂级数 0 n n n a x = 当 0 0 x x x = ( 0) 时收敛，则适合不等式 0 x x 的一切 x 使这幂级数 绝对收敛；反之，如果幂级数 0 n n n a x = 当 0 x x = 时发散，则适合不等式 0 x x 的一切 x 使这 幂级数发散． （2）设幂级数 0 n n n a x = ，如果 1 lim n n n a a + → = ，其中 n a 、 n 1 a + 是幂级数 0 n n n a x = 的相邻两项 的系数，则该幂级数的收敛半径 1 , 0 , 0 0 , R = + = = + ． 注 定理中条件 1 lim n n n a a + → = 仅仅是求幂级数收敛半径的充分条件，而非必要条件． （3）幂级数 0 n n n a x = 的和函数 sx( ) 在其收敛域 I 上连续． （4）幂级数 0 n n n a x = 的和函数 sx( ) 在其收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式 0 ( ) x s x dx = 0 [ ] x n n o n a x dx = = 0 0 x n n n a x dx = = 1 0 1 n n n a x n + = + ，( ) x I ．